Дифференциальные уравнения

Задача. Найти решение задачи Коши.

1) Пусть

2)

Задача. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

 

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть  1) Какие множества измеримы по мере ? 2) Какие функции измеримы относительно меры ? 3) Какие функции интегрируемы по мере 

Пусть . Найти интеграл Лебега-Стилтьеса

Основные методы интегрирования.

13.1. Способ подстановки (замены переменных).

 Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получается:

  Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:

По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла:

f(x)dx = f[(t)](t)dt

что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.


Геометрические и физические приложения кратных интегралов