Дифференциальные уравнения

Задача. Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку.

т.е. гипербола.

Задача. Найти линию, проходящую через точку , если отрезок любой ее касательной между точкой касания и осью делится на точке пересечения с осью абсцисс в отношении  (считая от оси ).

уравнение касательной.

-координаты произвольной точки, принадлежащие касательной.

По условию

и  подобны.

Точка принадлежит касательной, поэтому подставим координаты координаты точкив уравнение касательной.

Подставим (1) в (2).

Отсюда, уравнение искомой линии.

Метод замены переменной (подстановки)

 Для вычисления интеграла  сделаем замену , где  выбирается так, чтобы после преобразований данного интеграла и новой переменной , получился интеграл, который берется непосредственно.

Предварительно находим , тогда

 . (4)

После нахождения первообразной  необходимо вернуться к первоначальной переменной «».

  Пример 7.

.

  Пример 8.

.

  Замечание. Следующие интегралы удобно решать указанной заменой

 ;

 ;

 .


Геометрические и физические приложения кратных интегралов