Множества пределы производная и интеграл

Методика решения задач физика
Кинематика
Механика жидкостей и газов
Электростатика
Оптика
Динамика
Сборник задач по физике
Постояный ток
Классическая физика
законы Ньютона
Разьемные и неразьемные
соединения
Машиностроительное черчение
Инженерная графика
Штриховка разрезов
Спецификация
Неметаллические материалы
Техника вычерчивания и обводка
Построение лекальных кривых
Виды и комплектность документов
Основная надпись
Этапы развития натюрморта
в русском исскустве
Сопряжение
Последовательность выполнения
сборочного чертежа
Форматы
Последовательность нанесения
размеров
Эскиз детали. Тpебования к эскизу
Проецируещие прямые
Позиционные задачи
Сопромат
Задачи по сопротивлению материалов
Лабораторные работы по сопромату
Математика
Вычисление криволинейного интеграла 2 рода
Решение дифференциальных уравнений
Пример решения расчетного задания
Вычисление двойного интеграла

Производная по направлению.

Числовые ряды
Функции комплексной переменной
Операционное исчисление
Ряды и интеграл Фурье
Типовой расчет
Вычислить производную
Вычислить интегралы
Вычисление площади
поверхности
Механические приложения
двойного интеграла
Скалярное и векторное поле
Соленоидальное поле
Исследовать систему уравнений
Дифференциальные уравнения
Предел последовательности
Методы интегрирования
Теория поля
Контрольная работа по
теме интегралы
Геометрические и физические
приложения кратных интегралов
Элементы теории множеств
Дифференцируемость ФНП
Интеграл Типовые задачи
Поверхностный интеграл
первого рода
 
Энергетика
История искусства
История дизайна
Искусство Шумера
Древнееврейская культура
Культура Античного мира
Техника живописи

Элементы теории множеств Понятие "множество" – неопределяемое понятие. Под множеством понимается "набор", "коллекция", "совокупность" и т.п. отличающихся друг от друга объектов, объединенных каким-либо общим свойством. Предметы или объекты, составляющие множество, называются элементами множества.

Операции над множествами названиями похожи на арифметические операции, но существенно другие.

Доказать, что . РЕШЕНИЕ. Два множества совпадают, если каждое из них является подмножеством другого.

Множество всех четных чисел  эквивалентно множеству . В самом деле, отображение (правило)  устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множествами  и .

Не всякое бесконечное множество является счетным

Некоторые понятия и операции математической логики

Если  – истинное высказывание, то высказывание не  построится так:  или , т.е.  – ложное.

Для описания области истинности предиката используют кванторы

Всякая теорема в математике состоит из разъяснительной части (описания тех объектов, о которых идет речь в теореме) и связанных между собой высказываний. Под теоремой понимают всегда истинное высказывание. Теоремы часто формулируют в виде импликаций вида .

Обратная противоположная теорема

Свойтва числовых множеств

Предел и непрерывность функции одной переменной Понятие предела функции  при , стремящемся к  (сокр. ), является основным понятием математического анализа. Оно характеризует поведение функции  вблизи точки , т.е. существование предела и его значение определяют локальное свойство

.В определении предела начение функции в точкез   не участвует, поэтому функция   в точке  может быть не определена (не задана).

Для удобства изучения и геометрического представления последовательности обычно переобозначают   и последовательность   изображают точками на числовой оси.

Числовая последовательность – множество значений функции, определенной на множестве всех натуральных чисел, записанное в порядке возрастания , т.е. .

Показать по определению . .

Показать .

Показать, что  не существует.

Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей при   конечный предел

Теорема о переходе к пределу в равенстве Контрпример. Пусть , , тогда .

Но сумма функций может быть представлена слагаемыми (неоднозначно), например в виде  и , и пределы слагаемых при  не являются конечными числами (не существуют).

Первый замечательный предел .

Сравниваем две б\м при  функции и устанавливаем их эквивалентность .

Односторонние пределы

Второй замечательный предел .

Непрерывность функции в точке

Непрерывная в точке функция локально ограничена. Арифметические операции: сложение, разность и произведение конечного множества непрерывных в одной и той же точке функций – определяют функцию, непрерывную в той же точке. Деление непрерывных функций определяет непрерывную функцию в любой точке, кроме нулей знаменателя.

Непрерывность функции на множестве Функция , , называется непрерывной на множестве , или говорят, что функция  принадлежит множеству всех функций, непрерывных на множестве  (сокр. ), если она непрерывна в каждой точке множества .

Теорема Вейерштрасса

Производная функции в точке

Показать по определению дифференцируемость функции  в произвольной точке

Правила дифференцирования.

Производная обратной функции Понятие ОБРАТИМОСТИ функции относится к свойствам функции на множестве (глобальное свойство). Будем рассматривать функцию , ; здесь  – область задания функции:  – множество значений функции.

Формулы производных конкретных функций

Вычислить производную функции  на ОДЗ. РЕШЕНИЕ. Можно дифференцировать последовательно: сначала логарифмированную функцию, затем по формулам производной дроби и произведения. На проще сначала выражение прологарифмировать, а затем уже дифференцировать.

Теорема Ферма

Теорема Лагранжа

Правило Лопиталя не является универсальным, оно применимо лишь тогда, когда существует предел отношения производных .

Разложить функцию  в окрестности точки , взяв . РЕШЕНИЕ. Воспользуемся формулой Маклорена при .

Исследование функции и построение ее графика

ТЕОРЕМА (достаточное условие существования точки локального экстремума функции)

Неопределенный интеграл

Свойства неопределенного интеграла базируются на свойствах дифференциала функции

Вычислить интеграл .

Сведение исходного интеграла к табличному тесно связано с операцией подведения функции под знак дифференциала: . Функция  – какая-то первообразная для  и ее подбирают, используя формулы дифференцирования и правила дифференцирования.

Вычислить . РЕШЕНИЕ. Снова выбор табличного интеграла, к которому попытаемся свести интеграл , проведем по структуре подынтегрального выражения. Оно представляет собой дробь, знаменатель которой содержит квадратный корень разности положительного числа  и квадрата функции – .

Интегрирование тригонометрических функций вида

Вычислить .

Эффективность метода интегрирования по частям определяется умением правильно определить, для каких интегралов применима формула (*) и как наиболее рационально расчленить подынтегральное выражение  на произведение , т.е. как выбрать функции  и , чтобы идея интегрирования по частям была осуществлена. Приведем некоторые рекомендации такого выбора.

Вычислить , .

Вычислить , применяя интегрирование по частям,  – число, .

Метод замены переменной (интегрирование подстановкой)

Иногда по структуре подынтегрального выражения удается догадаться не о самой подстановке , а о виде функции  – обратной для  – с тем, чтобы свести исходный интеграл к одному из табличных интегралов.

Дробно-рациональная функция (рациональная дробь) определяется формулой ,

Способы отыскания введенных здесь и пока неизвестных коэффициентов, объединенные названием "Метод неопределенных коэффициентов", покажем на конкретных примерах. ПРИМЕР 1. Разложить на простейшие дроби рациональную дробь .

Вычислить .

Интегрирование с помощью рационализации подынтегральных выражений

Вычислить .

Интеграл от функции , где , ,  и  – постоянные,   – целое положительное число, рационализируется подстановкой .

Решение дифференциального уравнения