Непрерывность функции в точке
ОПРЕДЕЛЕНИЕ (непрерывность в точке). Пусть функция
задана на
,
. Тогда
(
– непрерывна в точке
)
![]()
.
Итак, непрерывность в точке функции предполагает задание функции в самой точке
(конечная точка) и в некоторой ее окрестности, при этом должны выполняться условия:
существование конечного предела функции в конечной точке;
значение предела совпадает со значением функции в этой точке.
Понятие точки разрыва функции
Пусть
,
,
. Тогда если точка
не является точкой непрерывности функции
, то она – точка разрыва функции. При
или
также возможен "разрыв" слева или справа функции
(см. рисунок), еслирассматривается на
.
Условия непрерывности функции в точке могут нарушаться в следующих ситуациях (классификация точек разрыва):
, но
;
– точка устранимого разрыва; на рисунке это точки
,
;
,
, но
;
– точка разрыва первого рода;
– скачок функции в точке
; на рисунке это точка
,
,
;
– точка разрыва второго рода в остальных случаях; на рисунке это точки
и
.
Свойства (локальные) функции, непрерывной в точке, можно перефразировать, исходя из соответствующих теорем о функциях, имеющих конечный предел в конечной точке. Перечислим некоторые из них.