Производная обратной функции

Понятие ОБРАТИМОСТИ функции относится к свойствам функции на множестве (глобальное свойство).

Будем рассматривать функцию , ; здесь  – область задания функции:  – множество значений функции.

Функция  называется обратимой на , если она принимает каждое своё значение только один раз; символически это определение запишется

(символ означает "существует единственное значение"),

т.е. на множестве определена функция , , такая, что выполнены тождества

 на   и на .

При этом функцию называют обычно обратной функцией для .

Заметим, что графики функций и на плоскости Oxy СОВПАДАЮТ.

ПРИМЕР. Для функции найти обратную функцию; рассмотреть графики прямой и обратной функций.

РЕШЕНИЕ. Обозначим , ; из этого уравнения находим ; видим при этом, что для всякого  существует единственное значение , т.е. – обратная функция. Графики функций и совпадают; это прямая . Заметим, что имеем тождества и на .

Для обратной функции проводим переобозначение
переменных:   заменяем на ,  заменяем на , получаем – функцию, у которой независимая переменная изображается на оси , а значение функции – на оси .

В нашем примере переобозначение переменных приводит к функции , её график симметричен графику исходной функции относительно прямой (см. рисунок).

Итак, для нахождения обратной функции для , следует решить (если возможно) уравнение   относительно , , а затем переобозначить переменные.

Функции и называются взаимно-обратными, их графики симметричны относительно прямой .

Достаточное условие существования обратной функции:

если 1)  – непрерывна на промежутке ;

2)   – строго возрастает (или строго убывает) на промежутке ,

то на соответствующем промежутке значений функции  существует однозначная обратная функция , , , также непрерывная на  и строго монотонная на  (с сохранением характера монотонности).

Доказательство этого утверждения приведено подробно, например, в [2].

Замечаем, что в условиях утверждения свойства "прямой" (исходной) функции переносятся на обратную функцию.

Дифференцируемость обратной функции:

если 1) функция  обратима в некоторой окрестности
точки , ; , ;

 2) функция  дифференцируема в точке , т.е. существует ,

то для обратной функции  существует производная  и выполняется равенство  или .

В самом деле, рассмотрим отношение  при  – произ-вольном, , ; получаем

.

Поскольку  – непрерывна в точке  (следует из ее дифференцируемости в точке ), то и обратная функция  – непрерывна в соответствующей точке , т.е.  и  одновременно. И тогда существование предела  определяет существование предела , причем  (по теореме о переходе к пределу в равенстве).

Формула дифференцирования обратной функции

предполагает выполнимость условий рассмотренной теоремы в
точке , а также равенства: ; ; ,  на ;  на .