Производная обратной функции
Понятие ОБРАТИМОСТИ функции относится к свойствам функции на множестве (глобальное свойство).
Будем рассматривать функцию
,
; здесь
– область задания функции:
– множество значений функции.
Функция
называется обратимой на
, если она принимает каждое своё значение только один раз; символически это определение запишется
(символ означает "существует единственное значение"),
т.е. на множестве определена функция ,
, такая, что выполнены тождества
на
и на
.
При этом функцию называют обычно обратной функцией для .
Заметим, что графики функций и на плоскости Oxy СОВПАДАЮТ.
ПРИМЕР. Для функции найти обратную функцию; рассмотреть графики прямой и обратной функций.
РЕШЕНИЕ. Обозначим
,
; из этого уравнения находим ; видим при этом, что для всякого
существует единственное значение
, т.е. – обратная функция. Графики функций и совпадают; это прямая . Заметим, что имеем тождества и на .
Для обратной функции проводим переобозначение
переменных:заменяем на
,
заменяем на
, получаем – функцию, у которой независимая переменная изображается на оси
, а значение функции – на оси
.
В нашем примере переобозначение переменных приводит к функции , её график симметричен графику исходной функции относительно прямой (см. рисунок).
Итак, для нахождения обратной функции для , следует решить (если возможно) уравнение
относительно ,
, а затем переобозначить переменные.
Функции и называются взаимно-обратными, их графики симметричны относительно прямой .
Достаточное условие существования обратной функции:
если 1)
– непрерывна на промежутке
;
2)
– строго возрастает (или строго убывает) на промежутке
,
то на соответствующем промежутке значений функции
существует однозначная обратная функция
,
,
, также непрерывная на
и строго монотонная на
(с сохранением характера монотонности).
Доказательство этого утверждения приведено подробно, например, в [2].
Замечаем, что в условиях утверждения свойства "прямой" (исходной) функции переносятся на обратную функцию.
Дифференцируемость обратной функции:
если 1) функция
обратима в некоторой окрестности
точки,
;
,
;
2) функция
дифференцируема в точке
, т.е. существует
,
то для обратной функции
существует производная
и выполняется равенство
или
.
В самом деле, рассмотрим отношение
при
– произ-вольном,
,
; получаем
.
Поскольку
– непрерывна в точке
(следует из ее дифференцируемости в точке
), то и обратная функция
– непрерывна в соответствующей точке
, т.е.
и
одновременно. И тогда существование предела
определяет существование предела
, причем
(по теореме о переходе к пределу в равенстве).
Формула дифференцирования обратной функции
предполагает выполнимость условий рассмотренной теоремы в
точке, а также равенства:
;
;
,
на
;
на
.