Неопределенный интеграл
Ранее рассматривалось понятие производной функции, ее геометрический смысл, свойства, правила нахождения. Во многих технических задачах требуется решение обратной задачи: отыскание функции по заданной ее производной функции. Например, задача об определении закона прямолинейного движения
материальной точки по заданной ее скорости
. Решение сформулированной задачи основано на понятии первообразной функции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция
, определенная на промежутке
,
называется первообразной функцией (или просто первообразной) для функциина
, если в любой точке этого промежутка функция
дифференцируема и имеет производную
, равную
:
.
ПРИМЕР. Функция
является первообразной для
на
, так как для любого
имеем
.
Для одной и той же функции существует бесконечное множество первообразных. Например, для
первообразными на
являются также функции
,
и вообще
, где
– произвольное число, поскольку
для любого
.
Аналогичные рассуждения верны и для первообразной произвольной функции
.
Свойства первообразных описываются легко проверяемыми теоремами.
ТЕОРЕМА 1. Если
– первообразная для функции
на
, то функция
, где
– произвольное число, также является первообразной для
на
.
ТЕОРЕМА 2. Если
и
– произвольные первообразные для
на
, то значение разности этих первообразных в каждой точке есть одно и то же число, т.е.
на
, где
– некоторое число.
Теоремы 1 и 2 показывают, что если функция имеет первообразную
, то множество функций
, где
и
, образует множество всех первообразных для функции
на
.
Для
множество всех первообразных есть множество функций
,
,
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество всех первообразных для функции
на промежутке
называется неопределенным интегралом
функциина
и обозначается символом
.
Выражение
называется подынтегральным выражением,
– подынтегральной функцией,
– переменной интегрирования,
– произвольной постоянной. Процедуру отыскания
неопределенного интеграла функции называют интегрированием функции (будем говорить, что "интеграл вычисляется").Если
– какая-либо первообразная функции
на
, то в силу определения неопределенного интеграла и свойств первообразных имеем
,
,
.
Для краткости это равенство записывается обычно в виде
.
ПРИМЕР. Проверить формулу
,
или
.
РЕШЕНИЕ. Используя определение абсолютной величины
,
можем записатьНа интервале
имеем
, поэтому для функции
на
функция
является первообразной.
На интервале
имеем
, поэтому для функции
на
первообразная имеет вид
.