Неопределенный интеграл

Ранее рассматривалось понятие производной функции, ее геометрический смысл, свойства, правила нахождения. Во многих технических задачах требуется решение обратной задачи: отыскание функции по заданной ее производной функции. Например, задача об определении закона прямолинейного движения  материальной точки по заданной ее скорости . Решение сформулированной задачи основано на понятии первообразной функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция , определенная на промежутке ,
называется первообразной функцией (или просто первообразной) для функции  на , если в любой точке этого промежутка функция  дифференцируема и имеет производную , равную : .

ПРИМЕР. Функция  является первообразной для  на , так как для любого  имеем .

Для одной и той же функции существует бесконечное множество первообразных. Например, для  первообразными на  являются также функции ,  и вообще , где  – произвольное число, поскольку  для любого .

Аналогичные рассуждения верны и для первообразной произвольной функции .

Свойства первообразных описываются легко проверяемыми теоремами.

ТЕОРЕМА 1. Если  – первообразная для функции  на , то функция , где  – произвольное число, также является первообразной для  на .

ТЕОРЕМА 2. Если  и  – произвольные первообразные для  на , то значение разности этих первообразных в каждой точке есть одно и то же число, т.е.  на , где  – некоторое число.

Теоремы 1 и 2 показывают, что если функция имеет первообразную , то множество функций , где  и , образует множество всех первообразных для функции   на .

Для   множество всех первообразных есть множество функций , , .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество всех первообразных для функции  на промежутке  называется неопределенным интегралом
функции  на  и обозначается символом .

Выражение  называется подынтегральным выражением,  – подынтегральной функцией,  – переменной интегрирования,  – произвольной постоянной. Процедуру отыскания
неопределенного интеграла функции называют интегрированием функции (будем говорить, что "интеграл вычисляется").

Если   – какая-либо первообразная функции  на , то в силу определения неопределенного интеграла и свойств первообразных имеем , , .

Для краткости это равенство записывается обычно в виде

.

ПРИМЕР. Проверить формулу ,  или .

РЕШЕНИЕ. Используя определение абсолютной величины ,
можем записать 

На интервале  имеем , поэтому для функции  на  функция  является первообразной.

На интервале  имеем , поэтому для функции  на  первообразная имеет вид .