Интегрирование с помощью "рацирнализации" подынтегральных выражений

Интеграл от функции , где , ,  и  – постоянные,   – целое положительное число, рационализируется подстановкой .

ПРИМЕР 6. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Полагая , тогда ,  и . Отсюда

.

Биномиальным дифференциалом называется выражение вида ,

где  и  – любые постоянные, а показатели степеней ,  и  – некоторые рациональные числа.

1)   – целое число; интеграл  рационализируется подстановкой , где  – наименьшее общее кратное знаменателей рациональных чисел  и ;

2)   – целое число; интеграл  рационализируется подстановкой , где  – знаменатель рационального числа ;

3)   – целое число; интеграл  рационализируется
подстановкой .

Эта теорема, отмечая случаи рационализации интеграла ,
устанавливает, что не существует никаких других случаев, в которых этот интеграл является элементарной функцией.

Практическое применение теоремы показывает следующий пример.

ПРИМЕР 7. Выяснить, выражаются ли интегралы  и  элементарными функциями.

РЕШЕНИЕ. Для  имеем , , ; отсюда , ,  – ни одно из этих чисел не является целым числом. Поэтому  не выражается через элементарные функции.

Для  имеем , , , и снова ни одно из чисел , ,  не является целым. Поэтому  также не выражается через элементарные функции.

Можно доказать, что не выражаются элементарными функциями интегралы вида:

  – интеграл Пуассона

,  – интегралы Френеля

   – интегральный логарифм;

  – интегральный косинус;

  – интегральный синус.

Эти интегралы реально существуют, играют большую роль в решении многих прикладных задач. Поэтому они изучены с такой же полнотой, как и простейшие элементарные функции.