Вычисление криволинейного интеграла 2 рода Решение дифференциальных уравнений Пример решения расчетного задания Вычисление двойного интеграла Производная по направлению.


Курс практики по математике. Примеры решения задач контрольной работы

Решение дифференциальных уравнений.

Решаем задачу Коши для диф. уравнения 2-ого порядка : y’’ = f(x,y,y’) , причем, y(x0) = y0 , y’(x0) = y’0

Ищем решение  у(х) в виде ряда Тейлора ( 13 ). Первые два коэффициента разложения y(x0) , y’(x0)  нам заданы условием задачи. Третий коэффициент находим из дифференциального уравнения  y’’(x0) = f(x0, y0, y’0) . Для определения остальных коэффициентов будем последовательно дифференцировать уравнение y’’ = f(x,y,y’) и подставлять в него известные значения производных низшего порядка.

Пр. Найти первые три члена разложения для задачи Коши : y’’ = xy’ – y + ex

при начальном условии у(0) = 1, у’(0) = 0

Решение ищем в виде y(x) = y(0) + y’(0)/1! + y’’(0)/2! + . . .

y’’(0) = 0 0 – 1 + 1 = 0 ; y’’’(0) = (xy’’ + ex)| 0 = 1 ; y’’’’(0) = (y’’ + xy’’’+ ex)| 0 = 1

Ответ : y(x) = 1 + 1/3! x3 + ¼! x4

Скалярное поле и его характеристики. Рассмотрим функцию U(M), зависящую от координат точки М расположенной на плоскости (МD) или в пространстве (М).

Векторные поля и их характеристики. Опр. Векторным полем (в.п.) наз. совокупность двух множеств: множество точек пространства М и множество векторов, каждый из которых соотнесен к определенной точке. Вектора определяются векторной функцией F = F(M) = F(x,y,z) = F( r) , которая наз. функцией векторного поля.

Ротор (вихрь) векторного поля. Опр. Циркуляцией векторного поля. F(M) = {P, Q, R}  вдоль замкнутой кривой L наз. криволинейный интеграл от скалярного произведения вектора поля и дифференциала радиус-вектора перемещающегося вдоль кривой Ц L =   =  

Числовые  ряды. Сложную функцию f(x) часто представляют как линейную комбинацию нескольких простых функций f(x) @ Pn(x). Это упрощает ее исследование. Чем больше простейших функций используется в Pn(x) , тем точнее приближение. При бесконечном росте числа слагаемых (n ® ¥) графики f(x) и ее апраксимации Pn(x) могут совпасть полностью.

Функциональный ряд. Опр. Функциональным наз. ряд члены которого являются функциями от х .

Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена. Алгоритм разложения: 1) Составляем для функции f(x) ряд Тейлора ; 2) Находим интервал сходимости этого ряда ; 3) Проверка условия lim Rn(x) = 0 при n

Периодическая функция с периодом 2 определена как f(x) = x , . Разложить ее в ряд Фурье. Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле.

Разложение в ряд Фурье непериодических функций. В ряд Фурье можно разлагать не только периодические функции, но и любые ограниченные функции, определенные на конечном участке числовой оси, если вне этого участка поведение функции нас не интересует.  Если участок оси симметричен [-l, l] , то используется разложение ( 26 ), ( 27 ). Если функция f(x) задана на сегменте [0, l], то для разложения в ряд Фурье достаточно доопределить ее в сегменте [-l, 0] произвольным образом, а затем разложить в ряд Фурье, считая ее заданной в сегменте [-l, l]. Наиболее удобно доопределять функцию условием четности f(-x) = f(x) или нечетности f(-x) = -f(x). В этом случае используются разложение только по синусам или только по косинусам в формулах 

Уравнения математической физики

Ряды Фурье.

Существуют различные методы представления произвольной функции f(x) через более простые функции, свойства которых хорошо изучены. Так, ряд Тейлора представляет f(x) через сумму степенных функций. Если f(x) периодическая функция f(x) = f(x+T), то ее можно представить как сумму простейших тригонометрических функций типа An sin(nx+). Такое разложение по кратным гармоникам наз. гармоническим анализом и оно очень удобно при рассмотрении радиотехнических задач. Электромагнитные  волны это гармонические колебания, а всякий сложный радиосигнал это совокупность таких колебаний и его разложение на гармоники имеет реальный физический смысл.

Опр. Тригонометрическим наз. функциональный ряд из гармоник кратных частот

a0/2  + ancos nx + bnsin nx ( 19 )

где коэффициенты ряда an , bn действительные числа, nN . Рассмотрим вопрос о сходимости такого ряда. Введем определения.

Опр. Всякий функциональный ряд  наз. равномерно сходящимся на сегменте Х, если существует такой знакоположительный, сходящийся ряд , что |un| < vn , nN . Ряд  наз. мажорирующим по отношению к исходному.

Равномерно сходящийся на сегменте Х ряд является в пределах сегмента абсолютно сходящимся и его можно почленно интегрировать.

Таким образом, из сходимости числового ряда  следует равномерная сходимость ряда ( 19 ), т.к. |cos nx| < 1, |sin nx|< 1. Если ряд ( 19 ) равномерно сходится, то его сумма f(x) является периодической функцией с периодом T = 2, т.к. все члены ряда имеют такой период. 

Вопрос : существует ли простая связь между суммой ряда ( 19 ) S(x) и коэффициентами разложения an , bn ? Ответ : да, т.к. cos nx , sin nx образуют систему ортогональных функций.

Опр. Система функций u1(x), u2(x), . . . , un(x), . . . наз. ортогональной , если интеграл от произведения этих функций удовлетворяет условию 

 ui(x) uj(x)dx = 0 при ij и = 1 при i = j ( 20 )

Если функция f(x) разлагается в ряд по системе ортогональных функций { un }

f(x) = cn un , то ее коэффициенты равны cn =  f(x) un(x) dx . Эта формула получается после умножения ряда на un(x) и интегрирования с учетом ( 20 ).

Покажем, что тригонометрические функции { ½ , sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, . . . } образуют ортогональную систему на отрезке [-,] со следующими свойствами

1.  = 0 при k n и =  при k = n

2.  = 0 при k n и =  при k = n ( 21 )

3.  = 0 4.  = 0 ,  = 0

Действительно, произведения тригонометрических функций сводятся к их сумме

sin a cos b = ½[sin(a+b) + sin(a-b)] ; cos a cos b = ½[cos(a+b) + cos(a-b)]

sin a sin b = ½[cos(a-b) – cos(a+b)] ,

а интеграл по полному периоду от тригонометрической функции всегда равен 0. Исключение составляет интеграл

 = ½  =

Простая связь между суммой ряда и его коэффициентами позволяет строить ряд под конкретную функцию.

Опр. Рядом Фурье для функции f(x) наз. тригонометрический ряд ( 18 ), который равномерно сходится и его сумма S(x) = f(x) , т.е. построен под конкретную функцию.

Определим коэффициенты ряда Фурье. Для этого проинтегрируем его почленно и получим  = а0 . Умножим все члены ряда ( 1 ) на сos kx и проинтегрируем  с учетом соотношений ( 21 ). В результате получаем простые соотношения для произвольных коэффициентов ряда Фурье, которые зависят только от вида f(x) :

а0 = 1/ ; an = 1/ ; bn = 1/ ( 22 )

Определим условия Дирихле : функция f(x) периода 2 на промежутке [-,

непрерывна или имеет конечное число точек разрыва  1 рода;

кусочно-монотонна, т.е. интервал разбивается на конечное число отрезков, где f(x) либо только возрастает, либо только убывает, либо постоянна.

Признак сходимости Дирихле. Если периодическая функция f(x) с периодом 2 удовлетворяет на любом отрезке из R условиям Дирихле, то ряд Фурье для функции f(x) сходится для всех хR. При этом в каждой точке непрерывности функции х сумма ряда равна f(x), а в каждой точке разрыва а равна [f(a+0) + f(f-0)] /2 , т.е. средне-арифметическому значению.

Если f(x) удовлетворяет условиям Дирихле, то она определяет на промежутке

[-,] криволинейную трапецию конечной площади и является ограниченной функцией. Интегралы от произведения ограниченной функции на sin nx , cos nx т.е. an , bn , быстро убывают с ростом n вне зависимости от вида f(x). Действительно, разобьем [-,] на участки с шагом Dх = 2p/n . При больших n имеем

 » A = A/n sin nx = - A/n sin nx sin p = 0

 Стремительное убывание an , bn с ростом n обеспечивает сходимость мажорирующего ряда и, следовательно, равномерную сходимость тригонометрического ряда (19 ).


Математика решение задач