Вычисление криволинейного интеграла 2 рода Решение дифференциальных уравнений Пример решения расчетного задания Вычисление двойного интеграла Производная по направлению.


Курс практики по математике. Примеры решения задач контрольной работы

Пример решения расчетного задания

Задание 1. Найти общее решение уравнения u``xx - 2u``xy + u``yy + 2u`x - 2u`y = 0, приведя его к каноническому виду (Метод Даламбера).

Решение. Имеем a11 = 1, 2a12 = -2, a22 = 1 и характеристическое уравнение

a11 + 2a12 + a22 = 0 принимает вид ( - 1)2 = 0 , т.е. D = 0  параболический тип уравнения, 1 = 2 = 1.

Переход к новой системе координат: p = y  +x = y + x, вторую переменную выберем в виде q = ay + bx , где числа a, b произвольны. Обратное преобразование

y = (q -bp)/(a -b), x =(q –ap)/(b -a) и (b -a)0. Имеем p`x =1, p`y =1, q`x =b, q`y =a.

Вычислим производные

 2u`x = 2(u`pp`x + u`qq`x) = 2(u`p + bu`q)

  -2u`y = -2(u`pp`y + u`qq`y) = -2(u`p + au`q)

 u``xx = u``ppp`x + bu``qqq`x + u``pq( q`x + bp`x) = u``pp + b2u``qq + 2b u``pq

-2 u``xy = -2[u``ppp`y + bu``qqq`y + u``pq( q`y + bp`y)] = -2[u``pp + abu``qq + (b+a) u``pq ]

  u``yy = u``ppp`y + au``qqq`y + u``pq( q`y + ap`y) = u``pp + a2u``qq + 2a u``pq

сложим их и получим уравнение в новых координатах (a – b)2 uqq = 2(b – a) uq .

Пусть  b – a = 2. Решение уравнения с разделяющимися переменными u``pp = u`p. 

 ln(up) = p + f(q)  up = ep g(q)   du = g(q) ep dp

u(p,q) = g(q)  ep dp = g(q) ep + h(q)

Общее решение уравнения имеет вид u(x,y) = g(ay + bx) e(y + x) + h(ay + bx) и содержит две произвольные функции g(q) , h(q) .

Вывод уравнения колебаний струны. Пусть свободно изгибающаяся струна имеет силу натяжения на концах - T0, r - линейная плотность струны [ г/см ] , u(x,t) – амплитуда отклонения от оси Ох , F(x,t) – линейная плотность силы, действующая на струну ^  Ох [н/см ] .

Вывод уравнения теплопроводности. Рассмотрим некоторое неравномерно нагретое тело. Распределение температуры задает скалярное поле T(M). Точки тела с одинаковой температурой образуют изотермические поверхности T(x,y,z) = C. Передача тепла идет от одной поверхности к соседней и направление движения тепла в каждой точке М задает нормаль к её изотермической поверхности T(x,y,z) = C, т.е. grad T. Количество передаваемого тепла пропорционально скорости изменения температуры от слоя к слою, т.е. |grad T|.

Распространение электрических возмущений вдоль линии электропередач. Колебательный контур это модель с сосредоточенными параметрами L, C, R. Его описывают обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами В длинных проводах электропередач эти параметры рассредоточены и нужен другой метод описания.

Элементы теории поля Площадь гладкой поверхности. Гладкую поверхность G описывает уравнение z = f(x,y). Она имеет верхнюю, нижнюю стороны и границы.

Скалярное поле Опр. Скалярным полем (с.п.) наз. совокупность двух множеств: множества точек пространства M и множества чисел соответствующих этим точкам, которые определяются функцией U(M). Функция U(M) наз. функцией поля.

Пример. Записать формулы Остроградского-Гаусса в векторной и координатной форме для векторного поля (M) = { -yz; -xz; yz}.

Пример. Найти циркуляцию векторного поля = yi – x j + z k вдоль окружности x = r cos t , y = r sin t , z = 1 в положительном направлении, т.е. 0 < t < 2

Уравнения математической физики Дифференциальные уравнения, в которых неизвестная функция u = u(x1, . . . ,xn) зависит от нескольких аргументов наз. дифференциальным уравнением в частных производных (ДУЧП)

Интегральное исчисление функций нескольких переменных

Задание 2. Найти общее решение уравнения u``xx + 4u``xy + 3u``yy = 0, приведя его к каноническому виду (Метод Даламбера).

Решение. Имеем a11 = 1, 2a12 = 4, a22 = 3 и характеристическое уравнение

a11 + 2a12 + a22 = 0 принимает вид 2 + 4 + 3 = 0 , где D = 4  гиперболический тип уравнения, 1 = -1 , 2 = -3 ..

Переход к новой системе координат: p = y +1x = y - x, q = y + 2x = y – 3x .

Обратное преобразование x = ½(p –q), y = ½ (3p –q). Имеем p`x = -1, p`y =1, q`x =-3, q`y = 1

Вычислим производные

 u`x = u`pp`x + u`qq`x = -u`p - 3u`q

 u`y = u`pp`y + u`qq`y = u`p + u`q

 u``xx = -u``ppp`x - 3u``qqq`x + u``pq( -q`x - 3p`x)  = u``pp + 9u``qq + 6u``pq

 4 u``xy = 4[-u``ppp`y - 3u``qqq`y + u``pq( -q`y - 3p`y)] = 4[ -u``pp - 3u``qq - 4u``pq ]

 3 u``yy = 3[u``ppp`y + u``qqq`y  + u``pq( q`y + p`y)] = 3[ u``pp + u``qq + 2u``pq ]

сложим их и получим  уравнение в новых координатах 4u``pq = 0.

Общее решение уравнения хорошо известно u(x,y) = F1(p) + F2(q) = F1(y – x) + F2(y – 3x) и содержит две произвольные функции.

Задание 3. Решить смешанную задачу для волнового уравнения u``tt  = u``xx на отрезке 0<x<1, 0< t < при начальных условиях u(x, 0) = x(x – 1), u`t (x, 0) = 0

и граничных условиях u(0, t) = 0, u(1, t) = 0 .

Общее решение такой задачи (колебания струны) имеет вид (Метод Фурье):

u(x,t)  =  sin (p n / l) x [ Cn cos (ap n / l) t + Dn sin (ap n / l) t ]

где  Cn =  ; Dn =  

В нашем случае l = 1, а =1 и Cn==2[][(-1)n-1], Dn =0

u(x,t) =  -4[] sin p(2k-1)x cos p(2k-1)t ( n = 2k – 1)

Задание 4. Найти решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности  u`t = u``xx на отрезке 0 < x < l , t > 0 при начальных условиях u(x, 0) =  и краевых условиях u(0, t) = 0, u(1, t) = 0 .

Общее решение задачи имеет вид (Метод Фурье): 

u(x,t) = Bn  sin (p n / l) x , где Bn = 

Интеграл Bn =  +  вычислим по частям и получим Bn =   , т.е. B2k = 0 , B2k - 1 = 

u(x,t)  =   sin

Криволинейный интеграл II рода (по координатам)

  (29)

если

  (30)

 если

 

Продолжение прил.1

  (31)

 если

Работа силы на криволинейном пути L:

.  (32)

Двойной интеграл в прямоугольных координатах

 (33)

  (34)


Математика решение задач