Вычисление криволинейного интеграла 2 рода Решение дифференциальных уравнений Пример решения расчетного задания Вычисление двойного интеграла Производная по направлению.


Курс практики по математике. Примеры решения задач контрольной работы

Производная по направлению. Градиент

1. Производная по направлению

 Рассмотрим функцию трех переменных u=f(x,y,z), определенную на множестве G. Пусть точка . Через точку М0 проведём прямую l. Выберем произвольно на l точку М1 и установим таким образом направление . Тогда l – прямая с выбранным направлением.

 Пусть М(x,y,z) – переменная точка на прямой l. Через М0М обозначим ориентированную длину отрезка М0М, т.е. М0М=|М0М|, если направление отрезка совпадает с направлением l (точки М и М1 лежат по одну сторону от точки М0) и М0М=-|М0М|, если направление отрезка не совпадает с направлением l. Полное приращение функции:

  .

 Определение. Если существует конечный предел Решение дифференциальных уравнений. Решаем задачу Коши для диф. уравнения 2-ого порядка : y’’ = f(x,y,y’) , причем, y(x0) = y0 , y’(x0) = y’0

,

то он называется производной функции f в точке М0 по направлению l.

Обозначается .

 Замечание. Производная  функции f(x) в точке х0- это скорость изменения функции в точке х0. Частная производная  - скорость изменения функции в точке М0 по направлению оси Ох; частная производная  - скорость при функции в точке М0 по направлению оси Оу, а - по направлению оси Oz. Тогда  - скорость изменения функции в точке М0 по направлению l. Если направление l совпадает с положительным направлением оси Ох, то =. Аналогично для . Т.е. частные производные функции – это производные по направлению координатных осей.

 Теорема (достаточное условие существования производной по направлению l). Если u=f(x,y,z) дифференцируема в точке М0, то в этой точке существует производная по направлению, исходящему из точки М0, и

, (1)

где   - направляющие косинусы направления l (координаты единичного вектора в этом направлении).

Доказательство.

   Проведём через точку М0 прямую l возьмём на ней точку М,  - ориентированная длина.

   .


По условию функция f дифференцируема в точке М0. Следовательно, её полное приращение можно записать в виде

,  (2)

где  при . Разделим (2) на :

. (3)

Пусть М®М0. Тогда . Тогда  (проекции  на оси координат) стремятся к 0. Следовательно, . Значит, правая часть равенства (3) при  стремится к . Это означает, что существует и левой части: . Переходя в (3) к , получим (1).

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Понятие функции нескольких переменных

Предел и непрерывность функции двух переменных Понятие предела функции двух переменных

Повторные пределы Для функций нескольких переменных наряду с обычным понятием предела функции (при одновременном стремлении всех аргументов к их пределам) вводится понятие повторного предела, получаемого в результате ряда последовательных предельных переходов по каждому аргументу в отдельности в том или ином порядке. (Обычный предел функции n переменных называется n-кратным: двойным, тройным и т.д.)

Пример. Найти точки разрыва функции .

Пример. Найти полное приращение функции z=x2-xy+y2 в точке (х0,у0).

Геометрический смысл дифференциала Пусть функция z=f(x;y) дифференцируема в точке (х0;у0). Тогда в этой точке существует дифференциал , а график функции в точке (x0;y0;z0) имеет касательную плоскость, задаваемую уравнением

Выражение дифференциала через частные производные

Производные и дифференциалы высших порядков Частные производные высших порядков Пусть функция z =f(x,y) задана на области G. Пусть на G существуют частные производные  и . Они называются частными производными первого порядка функции f .

Дифференциалы высших порядков

Формула Тейлора для функции двух переменных Пусть функция F(t) в некоторой окрестности V(t0) имеет производные до (n+1)-го порядка включительно

Неявные функции одной переменной

Пример. Вычислить производные первого и второго порядка функции, заданной неявно уравнением  (x>0).

Экстремум функции нескольких переменных Понятие экстремума, необходимое и достаточное условия

Пример. . Найти производную в точке М0(1,-2,3) в направлении вектора, соединяющего точки А(1;2;3) и В(3;3;1).

 (2,1,-2), , .

,

,

,

.

2. Градиент

 Пусть функция u=f(x,y,z) определена и дифференцируема на множестве G.

 Определение. Градиентом функции u=f(x,y,z) в точке М0 называется вектор с координатами .

Обозначается  или .

Итак, .

  Если функция f дифференцируема на G, то в каждой точке МG определён вектор . В этом случае говорят, что градиент функции f образует векторное поле на G, и оно называется векторным полем градиентов.

  Теорема. Если функция u=f(x,y,z) дифференцируема в точке М0, то производная по направлению l в точке М0  равна проекции градиента функции f в этой точке на направление l.

Доказательство.

  Т.к. функция f дифференцируема в точке М0, то в этой точке существуют производная по направлению l и градиент, т.е. имеем

,

.

Через  обозначим единичный вектор направления l: .

Тогда (скалярное произведение).

Т.к. , где - угол между векторами  и , то, учитывая, что  а , получим . Следовательно, .

Свойства градиента

 1. Производная в данной точке М0 по направлению l имеет наибольшее значение, если направление l совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение

.

Доказательство.

   .

Ясно, что  имеет наибольшее значение, когда , т.е. когда φ=0. Это означает, что направление  совпадает с направлением .

 2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору градиента, равна нулю (следует из доказательства теоремы).

 3. В каждой точке М0 области определения функции градиент функции f направлен по нормали к поверхности уровня проходящей через эту точку.

4. ;

5. , где с=const;

6.

Свойства 4-6 следуют из определения градиента и правил дифференцирования.


Математика решение задач