Вычисление криволинейного интеграла 2 рода Решение дифференциальных уравнений Пример решения расчетного задания Вычисление двойного интеграла Производная по направлению.


Курс практики по математике. Примеры решения задач контрольной работы

Криволинейные интегралы 1-ого рода.

Задача: Кусочно-гладкая кривая линия L на плоскости соединяет точки А и В и определяется уравнением y = y(x) , [a,b] или x = x(t), y = y(t) (t1<t<t2). Вдоль кривой распределены массы с плотностью (M) для каждой точки М. Вычислим общую массу всей системы метод интегральной суммы.

1) Операция разбиения. Разделим кривую L на  n участков некоторыми точками А0 = А, А1, . . . , Аn = В. Соединим соседние точки отрезками АiАi+1 длиной si и выделим на каждом из них некоторую точку Мi().

Приближенно масса отдельного отрезка равна mi = (Mi) si , 

Массу всех отрезков определяет интегральная сумма

m(n) = (Mi) si ( 1 )

4) Переход к пределу n дает точное решение задачи. Основные распределения непрерывных случайных величин Равномерное распределение Определение. Распределение вероятностей называется равномерным, если на интервале возможных значений случайной величины плотность распределения является постоянной.

Главные особенности интегральной суммы ( 1 ) : 1) включает не только параметры кривой  L , но и дополнительную функцию двух переменных f(x,y) ; 2) приобретает физический смысл .

Опр. Криволинейным интегралом 1-ого рода от функции f(x,y) вдоль кривой L наз. предел интегральной суммы , полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки. Переменной интегрирования является длина кривой s.

J = lim f() si  f(x,y) ds   f(x,y) ds ( 2 )

n

Механический смысл криволинейного интеграла 1 рода : общая масса тел распределенных вдоль кривой с переменной плотностью.

Криволинейный интеграл сводится к обыкновенному определенному интегралу несколькими способами, в зависимости от способа описания кривой L.

Кривая L задана параметрически : x = x(s) , y = y(s) , 0sS , где s – длина кривой. Тогда

f(x,y) ds = f(x(s), y(s)) ds ( 3 )

2) Кривая L задана через произвольный параметр t : x = (t) , y = (t) , t1tt2 . 

Тогда, длину отрезка АiАi+1  можно представить в виде

*s = 

 и в пределе n lim = j`t , lim  = f`t , 

 *s  ds = dt

f(x,y) ds = f((t) ,(t)) dt ( 4 )

3) Кривая L задана явным уравнением : y = y(x) на [a,b] .

Тогда *s = или ds = dx . В результате имеем

f(x,y) ds = f(x,y(x)) dx ( 5 )

Задача 16. Вычислить , если l задана уравнением

Решение. Воспользуемся формулой (27) вычисления криволинейного интеграла I рода для кривой, заданной в полярных координатах:

Получим

Согласно формуле (20)

Тогда

Задача 17. Найти массу дуги кривой , если плотность кривой 

Решение. Применяем формулу (28) вычисления массы дуги с помощью криволинейного интеграла I рода:

Формула (25) позволяет преобразовать криволинейный интеграл в определенный:

Так как , получаем


Математика решение задач