Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды x = t –sin t, y = 1 – cos t, o £ t £ p
Решение: Координаты центра тяжести однородной дуги кривой L вычисляются по формулам :
xc =
, yc =
, где s – длина дуги. ( 10 )
Имеем (x`t)2 + (y`t)2 = (1 – cos t)2 + (sin t)2 = 2(1 – cos t) = 4 sin2(t/2) , тогда по ( 4 )
ds = 2 sin(t/2) dt и длина дуги s =
ds = 2
sin(t/2) dt = - 4 cos(t/2) |0p = 4
xc =
= 2/4
(t – sin t) sin(t/2) dt = 8/3
yc =
= 2/4
(1 – cos t) sin(t/2) dt = 4/3
Приложения криволинейных интегралов 2-ого рода.
Рассмотрим криволинейный интеграл 2-ого рода
J =
P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz ( 11 )
где P, Q, R – некоторые ограниченные непрерывные функции, а L - произвольная линия в пространстве, соединяющая точки А и В. Пусть линию определяет векторное уравнение r = r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k , ( t1
t
t2 ) . Тогда дифференциал радиус-вектора dr = ( xt`i + yt`j + zt`k ) dt = {dx, dy, dz} задает направление и величину смещения при движении по кривой в окрестности произвольной точки.
Величины P, Q, R можно рассматривать как компоненты вектора F = F(M) = {P,Q,R }, значения которого меняются от точки к точке пространства. Такой переменный вектор определяет векторное поле. Например, поле сил, воздействующих на тело массыm. При движении тела по кривой L в поле сил производится работа. По определению, на малом прямолинейном участке пути работа равна скалярному произведению вектора силы F(Mi) на вектор смещения
ri , т.е. Ai = F(Mi)
ri . Разделим кривую L на n малых, почти прямолинейных участков, и составим интегральную сумму
A(n) =
F(Mi)
ri =
[ P(Mi)
xi + Q(Mi)
yi + R(Mi)
zi ] ( 12 )
Пределом интегральной суммы ( 12 ) при n
является криволинейный интеграл 2-ого рода ( 11 ) или J =
, т.е. криволинейный интеграл 2 рода есть интеграл вдоль кривой от скалярного произведения вектора силы на вектор смещения.
Его механический смысл - работа по перемещению тела в поле переменных сил. Произведенная работа может зависеть или не зависеть от выбранного пути при перемещении из точки А в точку В . Это свойство является важнейшей характеристикой всякого векторного поля. Определим условия независимости криволинейного интеграла от контура интегрирования.
Теорема . Криволинейный интеграл 2-ого рода ( 11 ) вдоль кривой L , соединяющей точки А и В, не зависит от пути интегрирования при выполнении любого из следующих условий:
1) если его значение по произвольному замкнутому контуру равно 0
Pdx + Qdy + Rdz = 0 ( 13 )
2) если его подынтегральное выражение является полным дифференциалом функции трех переменных U(x,y,z)
Pdx + Qdy + Rdz = dU ( 14 )
3) если выполняются следующие равенства для частных производных от подынтегральных функций
=
,
=
,
=
( 15 )
Доказательства :
1) Пусть условие ( 13 ) выполняется и даны контуры (L1) , (L2) , соединяющие точки А и В. Построим замкнутый контур (L) , идущий из А в В по (L1) и из В в А по (L2) , причем, (L2) проходим в обратном направлении. Тогда, 0 =
=
-
, т.е.
=
2) Пусть условие ( 14 ) выполняется, тогда
Pdx + Qdy + Rdz =
dU =
Ut`(x(t),y(t),z(t)) dt =
= U(t2) – U(t1) = U(B) – U(A) ( 16 )
т.е. значение интеграла зависит только от координат точек А и В.
3) Из определения полного дифференциала dU =
dx +
dy +
dz и формулы (14 ) следует, что функции P, Q, R являются частными производными U
P =
, Q =
, R =
Из равенства смешанных производных
=
и т.д. следует ( 15 ).
Угадать явный вид первообразной функции U(x,y,z) удается не всегда. Для её нахождения можно использовать следующую процедуру.
Крайние точки контура интегрирования A(x0,y0,z0) и B(x,y,z) соединим последовательностью трех прямых, каждая из которых || одной из осей координат. Такой выбор контура предельно упростит интеграл J ( 11 ). Он превратится в сумму трех обычных определенных интегралов и будет равен U(x,y,z) – U(x0,y0,z0) согласно ( 16 ).
Прямая A(x0,y0,z0)C(x,y0,z0) : y , z - const , dy = dz = 0 , J
JAC =
Прямая C(x,y0,z0)D(x,y,z0) : x , z - const , dx = dz = 0 , J
JCD =
Прямая D(x,y,z0)B(x,y,z) : y , x - const , dy = dx = 0 , J
JDB =
В результате получаем JAB = JAC + JCD + JDB = U(x,y,z) – U(x0,y0,z0) или формулу для вычисления первообразной функции
U(x,y,z) =
+
+
+ const ( 17 )
Пр. Найти первообразную U(x,y,z) , если dU = (x2 – yz) dx + (y2 – xz) dy + (z2 – xy) dz
Решение. Функции P, Q, R непрерывны в пространстве R3. Выберем A(x0,y0,z0) = O(0,0,0) и по формуле ( 17 ) находим
U(x,y,z) =
+
+
+ С =
= (x3 + y3 + z3) /3 - xyz + C
Проверка : dU = (x2 – yz) dx + (y2 – xz) dy + (z2 – xy) dz