Курс практики по математике. Примеры решения задач контрольной работы

Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды x = t –sin t, y = 1 – cos t, o £ t £ p

Решение: Координаты центра тяжести однородной дуги кривой L вычисляются по формулам : xc =  , yc =  , где s – длина дуги. ( 10 )

Имеем (x`t)2 + (y`t)2 = (1 – cos t)2 + (sin t)2 = 2(1 – cos t) = 4 sin2(t/2) , тогда по ( 4 )

ds = 2 sin(t/2) dt и длина дуги s = ds = 2sin(t/2) dt = - 4 cos(t/2) |0p = 4

xc =  = 2/4(t – sin t) sin(t/2) dt = 8/3

yc =  = 2/4(1 – cos t) sin(t/2) dt = 4/3

Приложения криволинейных  интегралов 2-ого рода.

Рассмотрим криволинейный интеграл 2-ого рода

J = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz ( 11 )

где  P, Q, R – некоторые ограниченные непрерывные функции, а L - произвольная линия в пространстве, соединяющая точки А и В. Пусть линию определяет векторное уравнение  r = r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k , ( t1   t  t2 ) . Тогда дифференциал радиус-вектора  dr = ( xt`i + yt`j + zt`k ) dt = {dx, dy, dz} задает направление и величину смещения при движении по кривой в окрестности произвольной точки.

Величины P, Q, R можно рассматривать как компоненты вектора F = F(M) = {P,Q,R }, значения которого меняются от точки к точке пространства. Такой переменный вектор определяет векторное поле. Например, поле сил, воздействующих на тело массыm. При движении тела по кривой L в поле сил производится работа. По определению, на малом прямолинейном участке пути работа равна скалярному произведению вектора силы F(Mi) на вектор смещения ri , т.е. Ai = F(Mi) ri . Разделим кривую L на n малых, почти прямолинейных участков, и составим интегральную сумму

A(n) =  F(Mi) ri = [ P(Mi) xi + Q(Mi) yi + R(Mi) zi ] ( 12 )

Пределом интегральной суммы ( 12 ) при n является криволинейный интеграл 2-ого рода ( 11 ) или J =  , т.е. криволинейный интеграл 2 рода есть интеграл вдоль кривой от скалярного произведения вектора силы на вектор смещения.

Его механический смысл - работа по перемещению тела в поле переменных сил. Произведенная работа может зависеть или не зависеть от выбранного пути при перемещении из точки  А в точку В . Это свойство является важнейшей характеристикой всякого векторного поля. Определим условия независимости криволинейного интеграла от контура интегрирования.

Теорема . Криволинейный интеграл 2-ого рода ( 11 ) вдоль кривой L , соединяющей точки  А и В, не зависит от пути интегрирования при выполнении любого из следующих условий:

1) если его значение по произвольному замкнутому контуру равно 0

Pdx + Qdy + Rdz = 0 ( 13 ) 

2) если его подынтегральное выражение является полным дифференциалом функции трех переменных U(x,y,z)

Pdx + Qdy + Rdz = dU ( 14 )

3) если выполняются следующие равенства для частных производных от подынтегральных функций

 =  ,  =  ,  =  ( 15 )

Доказательства :

1) Пусть условие  ( 13 ) выполняется и даны контуры (L1) , (L2) , соединяющие точки А и В. Построим замкнутый контур (L) , идущий из А в В по (L1) и из В в А по (L2) , причем, (L2) проходим в обратном направлении. Тогда, 0 = =  - , т.е. = 

2) Пусть условие ( 14 ) выполняется, тогда

 Pdx + Qdy + Rdz = dU = Ut`(x(t),y(t),z(t)) dt =

= U(t2) – U(t1) = U(B) – U(A) ( 16 )

т.е. значение интеграла зависит только от координат точек А и В. 

3) Из определения полного дифференциала dU = dx + dy + dz и формулы (14 ) следует, что функции P, Q, R являются частными производными U

P =, Q = , R =

 Из равенства смешанных производных   =  и т.д. следует ( 15 ).

Угадать явный вид первообразной функции U(x,y,z) удается не всегда. Для её нахождения можно использовать следующую процедуру.

Крайние точки контура интегрирования A(x0,y0,z0) и B(x,y,z) соединим последовательностью трех прямых, каждая из которых  || одной из осей координат. Такой выбор контура предельно упростит интеграл J ( 11 ). Он превратится в сумму трех обычных определенных интегралов и будет равен  U(x,y,z) – U(x0,y0,z0) согласно ( 16 ).

Прямая A(x0,y0,z0)C(x,y0,z0) :  y , z - const , dy = dz = 0 , J   JAC =

Прямая C(x,y0,z0)D(x,y,z0) : x , z - const , dx = dz = 0 , J   JCD =

Прямая D(x,y,z0)B(x,y,z) : y , x - const , dy = dx = 0 , J   JDB =

В результате получаем  JAB = JAC + JCD + JDB = U(x,y,z) – U(x0,y0,z0) или формулу для вычисления первообразной функции

U(x,y,z) =  +  +  + const ( 17 )

Пр. Найти первообразную U(x,y,z) , если dU = (x2 – yz) dx + (y2 – xz) dy + (z2 – xy) dz

Решение. Функции  P, Q, R непрерывны в пространстве R3. Выберем A(x0,y0,z0) = O(0,0,0) и по формуле  ( 17 ) находим

U(x,y,z) =  +  +  + С =

 = (x3 + y3 + z3) /3 - xyz + C

Проверка : dU = (x2 – yz) dx + (y2 – xz) dy + (z2 – xy) dz