Вычисление криволинейного интеграла 2 рода Решение дифференциальных уравнений Пример решения расчетного задания Вычисление двойного интеграла Производная по направлению.


Курс практики по математике. Примеры решения задач контрольной работы

Векторный анализ.

Пусть некоторая линия L в пространстве задана векторным уравнением r = r(t) = = x(t) i + y(t) j + z(t) k , t1 < t < t2 .

Приращение радиус-вектора r = r(t+t) – r(t) определяет прямую проходящую через 2 точки L , которая при t0 превращается в касательную. Направление касательной в каждой точке кривой L задает производная dr/dt = x`t i + y`t i + z`t k = {x`t; y`t; z`t} = S(t).

Опр. Касательной плоскостью к поверхности, заданной уравнением  F(x,y,z) = 0 , в точке М0 , наз. плоскость, в которой расположены касательные ко всем линиям, лежащим на поверхности и проходящим через М0 . Бесконечно малые функции. 

Пусть L проходит по поверхности F(x,y,z) = 0 через точку M0 .Тогда для всех точек кривой справедливо равенство F(x(t), y(t), z(t)) = 0. Т.к. производная от константы равна нулю, то

Это выражение можно переписать как скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов : N S = 0 , где S – направляющий вектор касательной к L и

N ={} ( 1 )

Поскольку N  S для любой линии, проходящей по поверхности через М0 ,то по определению, N ( 1 ) является нормальным вектором касательной плоскости к поверхности F(x,y,z) = 0 в произвольной точке М0. Касательная плоскость в т. М0 существует, если координаты N непрерывны в ее окрестности и одновременно не равны 0.

Если уравнение поверхности G имеет явный вид z = f(x,y) и не содержит особых точек, то такая поверхность наз. гладкой поверхностью. У такой поверхности можно различать верхнюю и нижнюю стороны, а также границу. Если поверхность ограничивает тело, то она имеет внутреннюю и внешнюю стороны.

Из уравнения f(x,y) – z = 0 определим координаты N и его направляющие косинусы

 ( 2 )

где  и знак вектора зависит от выбора стороны поверхности. Если выбрать , то угол - острый и сторона поверхности будет верхней.

При перемещении по поверхности положение касательной плоскости и ее вектора n непрерывно изменяется. Если по произвольному контуру L на поверхности G выйти из точки М, вернуться в нее и при этом направление вектора n не изменится на противоположное, то такая поверхность наз. двухсторонней. Лист Мебиуса пример односторонней поверхности.

Площадь гладкой поверхности.

Понятие площади определено только для геометрических фигур на плоскости. Это количество квадратиков стандартного размера, которые умещаются на фигуре. Определение площади кривых поверхностей требует специального подхода и решается методом интегральной суммы.

Имеем гладкую поверхность G. Ее проекция на плоскость хОу занимает область D . 1) Разделим поверхность G сеткой линий на m участков G1, G2, . . . , Gm . 2) На каждом Gi выделим точку Мi , проведем через Мi касательную плоскость к G и спроектируем на нее точки участка Gi . В результате получим плоскую фигуру Gi* с площадью Si и вся гладкая поверхность покроется «многогранником». 3) Общую площадь «многогранника» определяет интегральная сумма . 4) Переход к

пределу m дает точное значение для площади криволинейной поверхности  G

 ( 3 )

Опр. Площадью криволинейной поверхности наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения поверхности на малые участки и проектирования их на касательные плоскости.

Для вычисления интеграла по площади ( 3 ) совершим переход к двойному интегралу с помощью второго проектирования. Каждый плоский многоугольник Gi* имеет свой нормальный вектор ni и может быть спроектирован на плоскость хОу.Отношение площадей любого многоугольника и его проекции равно косинусу угла между ними, т.е.Di /Si =сos , т.к. линейный угол между плоскостями Gi* и Di равен углу между ni и Oz.

{ Пример. Сравним площади ABC и его проекции ABE. , }. Пусть Di имеет форму прямоугольника, тогда Di = xiyi , *Si = xiyi / сos = xiyi и интегрирование по площади кривой поверхности заменяется на интегрирование по площади ее проекции, т.к. элементы площади  заменяются на элементы dxdy

 ( 4 )

Пр. Найти площадь поверхности z = x y, лежащей над кругом x2 + y2 < R2 .

Решение : т.к., то

2. Рассмотрим ряд  .

Условия признака Лейбница выполняются:

1)  2)  Значит, ряд сходится. Исследуя ряд на абсолютную сходимость, составим ряд из абсолютных величин  Применяем интегральный признак сходимости Маклорена-Коши: положительный ряд  сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится  (здесь  при  - непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, такая что ).

Вычисляем

Это означает, что несобственный интеграл расходится, тогда расходится ряд , а исходный ряд  сходится условно.

Отметим, что при исследовании сходимости ряда

можно было использовать предельный признак сходимости (см. задачу 21).


Математика решение задач