Вычисление криволинейного интеграла 2 рода Решение дифференциальных уравнений Пример решения расчетного задания Вычисление двойного интеграла Производная по направлению.


Курс практики по математике. Примеры решения задач контрольной работы

Задача о массе поверхности.

Пусть на гладкой поверхности z = z(x,y) распределена масса с поверхностной плотностью = f(x,y,z). Найти массу всей поверхности.

Задачу решаем методом интегральной суммы аналогично предыдущей задаче. Отличие заключается только в том, что в интегральной сумме ( 3 ) каждое *Si дополнительно умножаем на плотность, которую считаем постоянной и равной = f(Mi)

 ( 5 )

Опр. Поверхностным интегралом 1-ого рода от функции f(x,y,z) по поверхности z =z(x,y) наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения поверхности на малые участки и проектирования их на касательные плоскости.

Для вычисления интеграла элемент поверхности dS выразим через его проекцию на плоскость хОу :  , и в функции f(x,y,z) переменную z заменим на z(x,y) , т.е. перейдем к значениям функции на самой поверхности.

 ( 6 )

Пр. Вычислить массу части параболоида z = 1 – x2 – y2 , отсеченной плоскостью z = 0, если поверхностная плотность .

Т.к. p = -2x , q = -2y , D : x2 + y2 <1 , {x = r cos , y = r sin} , то

m =

Если поверхность задается в параметрической форме: x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), где точка (u;v) пробегает некоторую область  H на плоскости uOv , то интеграл вычисляется по формуле

 ( 7 )

где  , ,  ( 8 )

Здесь переход от элемента поверхности dS  к его проекции на параметрическую плоскость определяется формулой .

Пр. Рассмотрим сферу радиуса r. В сферической системе координат x = r sincos , y = sinsin , z = r cos . Параметрическая область H образует прямоугольник для u =  , v =: 0 <  < , 0 <  < 2. Вычисление параметров ( 8 ) дает : E = r2 , P = r2 sin2 , F = 0 , = r2 sin . Т.о. интеграл по сфере произвольного радиуса от произвольной функции f(x,y,z) имеет вид

 ( 9 )

Пр. Найти площадь сферы радиуса r. 

Пр. Найти массу поверхности сферы, если плотность в точке равна : (а) расстоянию от точки до вертикали ; (б) квадрату этого расстояния.

а) Плотность равна  = r sin и  

б) Плотность равна = (r sin)2 и  

Пр. Рассмотрим цилиндрическую поверхность x2 + y2 = a2, 0 < z < h Параметрическое представление x = a cos, y = a sin, z = z

Область H для переменных u = , v = z является прямоугольником 0 <  < 2 , 0 < z < h , = a .

Задача 4. Вычислить .

Решение. Этот интеграл относится к группе интегралов вида , , ,

  (- многочлен степени п) и вычисляется по формуле интегрирования по частям (17). В результате применения этой формулы исходный интеграл упростится, если за и принимать функции . Итак, положим  

Тогда

Получаем

Задача 5. Вычислить .

Решение. Выполним замену переменной:

Получим  

В подынтегральном выражении выделим целую часть:

-__

 

-

 

-

 

Тогда

В интеграле  сделаем замену:

,

при этом

Возвращаясь к переменной х, получим


Математика решение задач