Вычисление криволинейного интеграла 2 рода Решение дифференциальных уравнений Пример решения расчетного задания Вычисление двойного интеграла Производная по направлению.


Курс практики по математике. Примеры решения задач контрольной работы

Поверхностные интегралы 2 рода.

Пусть через замкнутую поверхность проходит поток жидкости или тепла. Входящий и выходящий потоки дают взаимоисключающий результат и поэтому их надо различать. Различать их можно по знаку cos, где  - угол между нормальным вектором внешней стороны замкнутой поверхности и направляющим вектором потока. Для выходящего

потока  - острый угол и cos>0 , для входящего потока  - тупой угол и cos<0 . Для описания потоков используют специальные поверхностные интегралы, которые учитывают направление потоков через поверхность.

Определение.

Пусть дана гладкая двухсторонняя поверхность G - z = z(x,y) . Её проекция на плоскость xOy занимает область D и ограничена замкнутым контуром L .

Выберем сторону поверхности G с нормальным вектором  n и проведем на ней произвольный замкнутый контур. Обход контура можно совершить двумя способами против или по часовой стрелке при взгляде с конца n. Направление против часовой стрелки выбираем за положительное. Пусть на G определена функция  f(x,y,z).

Сеткой линий разделим G на m участков G1, G2, . . . ,Gm , которые имеют на плоскости хОу проекции D1, D2, . . . Dm. Нормальным вектором плоскости хОу служит ось Оz.

 В каждом Gi выберем точку Mi , определим в ней значение функции f(Mi) и нормальный вектор ni = {} , который пересекается с ось Oz под углом .

3)Составим интегральную сумму П(m) =   ( 10 )

Множитель  означает, что вклады от разных участков берутся с разными знаками. Если при положительном обходе контура элемента Gi обход его проекции  Di также положителен, то знак (+), иначе (-). Совпадение направлений обхода означает, что угол между Oz и n острый и cos > 0 и выбранная поверхность является верхней. Из несовпадения следует - угол тупой, cos< 0. Появление членов с разными знаками происходит только при рассмотрении цилиндрических и замкнутых поверхностей. Считаем, что проекции Gi имеют форму прямоугольника Di = .

Опр. Поверхностным интегралом 2-ого рода для функции f(x,y,z) по двухсторонней ориентированной поверхности G наз. конечный предел интегральной суммы, полученной путем разбиения G на малые участки и проектирования их на координатные плоскости.

J =  =  ( 11 )

Символ dxdy показывает, что суммирование проводится по площади проекции элемента поверхности G на плоскость xOy. При замене выбранной стороны G на противоположную интеграл ( 11 ) меняет знак. Если проектировать элементы поверхности G на плоскости xOz, yOz , то получим аналогичные интегралы   ,  и построим обобщенный поверхностный интеграл 2 рода с учетом трех различных функций

 , ( 12 )

который распространяется на определенную заранее сторону двухсторонней поверхности.

Вычисление интегралов.

Если  G задана явным уравнением z = z(x,y) и точки (х,у) образуют замкнутую область  D , где сама функция и ее производные ,  непрерывны, то все члены интегральной суммы ( 10 ) имеют одинаковый знак и вычисление интеграла ( 11 ) сводится к вычислению обычного двойного интеграла

 J =  =  ( 13 )

Необходимо только заранее определить острый или тупой угол с осью Oz образуют нормальные вектора n выбранной стороны поверхности. Если угол тупой, то у интеграла меняют знак. Если поверхность G замкнута, то она разделяется на несколько кусочно- ориентированных поверхностей. Границами раздела служат линии на которых направляющие косинусы равны 0. 

 Пр. Вычислить интеграл , где G – внешняя сторона куба, составленного плоскостями  x = 0, y = 0, z = 0, x = 1, y = 1, z = 1.

Решение: J = J1(z=0) + J2(y=0) + J3(x=0) + J4(z=1) + J5(y=1) + J6(x=1)

G1: z = 0dz = 0,n1 Oz =>/2(-), J1 = (-)(0+0+) = 0 Аналогично J2 = J3 = 0 . G4 : z = 1 dz = 0, n4 Oz = 0 </2(+),

J4 = (+)(0 + 0 +) = 1 – площадь единичного квадрата.

Аналогично J5 = J6 = 1 . Окончательно J = 3 .

Поскольку площадь элемента поверхности  dS связана с площадью его проекции на координатную плоскость простым соотношением

dS = dxdy = или dxdy = cosdS

то от поверхностного интеграла 2 рода легко перейти к поверхностному интегралу 1 рода

 =  ( 14 )

Отличие между ними только в присутствии или отсутствии направляющего косинуса нормального вектора поверхности. Для обобщенного интеграла имеем

 =  =  ( 15 )

если функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) понимать как координаты вектора = {P;Q;R} .

Задача 24. Найти коэффициенты  и  разложения в ряд Фурье функции 

Записать это разложение.

Решение. Воспользуемся формулами (36), (37) разложения в ряд Фурье функции , заданной на отрезке :

,

где

Найдем коэффициенты  и . Так как , получим

Так как  можно заменить более простой функцией , получим .

Подставляем найденные коэффициенты в ряд Фурье:


Математика решение задач