Вычисление криволинейного интеграла 2 рода Решение дифференциальных уравнений Пример решения расчетного задания Вычисление двойного интеграла Производная по направлению.


Курс практики по математике. Примеры решения задач контрольной работы

Применение поверхностных интегралов.

Так как поверхностные интегралы 1 и 2 рода сводятся к обычным двойным интегралам, то различные задачи, которые приводят к вычислению двойных интегралов, могут быть представлены через поверхностные интегралы. Рассмотрим несколько таких примеров.

а) Вычисление объема.

Пусть подынтегральная функция в ( 4 ) не зависит от z , тогда она определяет некоторую поверхность z = f(x,y) , а интеграл по D объем цилиндрического бруса, ограниченного этой поверхностью и областью D . Переход к поверхностному интегралу в этом случае дает следующее выражение для объема цилиндрического бруса V =  ( 16 )

Обобщение этой формулы на случай тела произвольной формы ограниченного поверхностью G имеет вид V = 1/3  ( 17 )

б) Формула Стокса.

Известно, что формула Грина сводит двойной интеграл по плоской области D к криволинейному интегралу по контуру L , ограничивающему область D

 ( 18 )

Эта формула легко обобщается на случай, когда вместо куска плоской поверхности D берется кусок произвольной гладкой двухсторонней поверхности G , ограниченной контуром L. Формула Стокса :

  ( 19 )

переходит в формулу Грина, если положить  z = 0 . Тогда dz = 0 и G  D.

Из формулы Стокса легко получить условия при которых криволинейный интеграл по замкнутому контуру в пространстве обращается в ноль

 ;  ; 

в) Формула Остроградского – Гаусса.

Тройной интеграл после вычисления первого внутреннего интеграла превращается в двойной интеграл, который можно выразить через поверхностный.

Имеем тело ограниченное гладкими поверхностями : G1 – низ ,

 z = z0(x,y) ; G2 – верх, z = Z(x,y) ; G3 - цилиндрическая боковая поверхность по границе области D на плоскости хОу.  В этом объеме V определена функция R(x,y,z) , причем, функция и ее производные непрерывны. Рассмотрим интеграл

J = - = J1 – J2

 По формуле ( 13 ) интеграл J1 сводится к интегралу по внешней поверхности «верха» тела, а J2 по внутренней поверхности «низа». При переходе на внешнюю сторону «низа» знак J2 меняется. Учтем также, что аналогичный интеграл J3 по боковой поверхности G3 равен нулю, т.к. площадь ее проекции на плоскость хОу равна нулю. В итоге имеем

J =  +  + 

где интегралы вычисляются по внешней стороне поверхности ограничивающей тело, или

 ( 20 )

Обобщение формулы ( 20 ) на случай тела произвольной формы приводит к формуле Остроградского – Гаусса

 ( 21 )

которая интеграл по объему заменяет на интеграл по внешней стороне поверхности ограничивающей тело.

Общий принцип интегрального исчисления : формулы Грина, Стокса, Остроградского – Гаусса, Ньютона – Лейбница  позволяют интегралы по некоторой пространственной области заменить на интегралы взятые по границам этой области.

Формула Ньютона – Лейбница : 

Устные экзаменационные вопросы

«Поверхностные  интегралы»

Как записывается векторное уравнение произвольной линии в пространстве;

Направляющий вектор касательной к произвольной линии в пространстве;

Написать общее уравнение поверхности. Опр. гладкой поверхности.

Опр. касательной плоскости к поверхности, общая запись нормального вектора;

Написать координаты нормированного нормального вектора касательной плоскости гладкой поверхности;

Опр. двухсторонней поверхности;

Почему лист Мебиуса односторонняя поверхность;

Опр. площади криволинейной поверхности;

Написать формулу для вычисления площади криволинейной поверхности;

Написать интегральную сумму для задачи о массе поверхности;

Опр. поверхностного интеграла 1-ого рода;

Написать формулу для вычисления пов.ин - ла 1-ого рода для гладкой поверхности;

Общий вид уравнения поверхности в параметрической форме;

Написать формулу для вычисления пов.ин - ла 1-ого рода для поверхности заданной в параметрической форме;

Написать общий вид пов. ин – ла 1 рода по сфере от произвольной функции;

Написать интегральную сумму для пов. ин – ла 2 - ого рода, объяснить;

Опр. пов. ин – ла 2 - ого рода ;

Общий вид пов. ин – ла 2 - ого рода;

Написать формулу для вычисления пов. ин – ла 2 - ого рода для гладкой пов - ти;

Написать формулу перехода от интегралов 1 – ого рода к интегралам 2 – ого рода;

Написать формулу для вычисления пов.ин - ла 2-ого рода для поверхности заданной в параметрической форме;

Написать формулу для вычисления объема тела через поверхностный интеграл;

Написать формулу Стокса, объяснить;

Написать формулу Остроградского – Гаусса для цилиндрического тела, объяснить;

Написать формулу Остроградского – Гаусса для тела произвольной формы;

Задача 9. Вычислить .

Решение. Выделим в числителе производную от знаменателя:

Первый интеграл вычисляем, сделав замену , тогда . Имеем

Второй интеграл преобразуем, выделив в знаменателе полный квадрат: . Тогда с учетом формулы (14) получим

Итак, исходный интеграл равен

Задача 10. Вычислить .

Решение. Выделим в числителе производную подкоренного выражения

Первый интеграл вычисляется путем замены , тогда  Имеем

Второй интеграл преобразуем путем выделения полного квадрата в подкоренном выражении:

 

Тогда с учетом формулы (16) получим

Следовательно, исходный интеграл равен


Математика решение задач