Указать область дифференцируемости функции 
и вычислить
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
Определить вид кривой 
.
Построить область
плоскости 
, определяемую данными неравенствами
Проверить,
может ли функция 
быть действительной частью некоторой аналитической
функции 
, если да – восстановить
ее, при условии 
.
Найти область плоскости
, в которую отображается с помощью функции 
область 
: 
плоскости 
.
. Найти все лорановские разложения данной функции
по степеням 
. Указать главную и правильную
части ряда.
Для функции найти изолированные особые точки,
провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек. Вычислить
интегралы, используя теорему Коши о вычетах Вычислить интегралы с
помощью вычетов Вычислить интегралы от функции комплексного
переменного
Вычисление площади поверхности. Пусть в
пространстве задана кусочно-гладкая поверхность 
, однозначно проектирующаяся в область D на плоскости
Оху. Пусть эта поверхность задаётся уравнением 
.
Механические
приложения двойного интеграла. Будем считать, что D - неоднородная плоская
пластина с поверхностной плотностью материала в точке Р равной 
. В механике определяется так. Точка Р окружается малой областью S,
находится масса m(S) и площадь этой области (площадь тоже будем обозначать буквой
S), и 
. Для нахождения массы
по заданной плотности мы ь обратную задачу.
Скалярное
и векторное поле Рассмотрим теперь поверхность уровня
скалярного поля 
, т.е. поверхность, задаваемую уравнением 
. Предположим, что - непрерывно дифференцируемая функция от 
.
Соленоидальное поле Циркуляция,
ротор. Векторная формулировка теоремы Стокса Пусть 
- контур с заданным направлением обхода, 
- векторное поле, 
- единичный вектор касательной к кривой. Определим циркуляцию
как интеграл 
(смысл – работа силы вдоль контура ).
ноутбуки
Найти интеграл 
. Решение. Поделив каждое
слагаемое числителя подынтегральной дроби на знаменатель, и используя, что интеграл
от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций, получим:
Найти
интеграл 
. Найти интеграл 
. 
. 
. 
.
Вычислить интеграл
.
Вычислить несобственный интеграл 
или доказать его расходимость.
Вычислить интеграл от разрывной функции 
или установить его расходимость.
Системы
линейных уравнений.
Задача. Вычислить определитель
.
Решить систему методом
Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Решим систему
методом Крамера. Главный определитель системы
Выполнить
действия: 
Векторная
алгебра.
Задание: Коллинеарны ли векторы 
и 
, разложенные по векторам 
и 
, где 
Перпендикулярны ли векторы
?
При каком значении
векторы 
где 
, перпендикулярны?
Для нахождения длины
вектора воспользуемся формулой:
, для этого найдем проекции векторов
на оси координат, так же найдем сумму векторов по правилу сложения векторов, заданных
проекциями на оси координат Направление вектора определяется углами 
, образованными им с осями координат 
Косинусы этих углов (направляющие косинусы
вектора) определяются по формулам Векторное произведение
векторов
Даны координаты вершин пирамиды:
Аналитическая геометрия
Даны
три последовательные вершины параллелограмма А(2;-3),
В(5;1),С(3;-4). Составим уравнение прямой AD. Составим
уравнение высоты 
, проведенной из вершины 
на сторону 
как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой . Найдем уравнение
диагонали 
как уравнение прямой, проходящей через точки
и 
, где - середина отрезка 
. Найдем тангенс угла между
диагоналями и .
Составить уравнение плоскости,
проходящей через точки 
, 
, 
.
Найти расстояние от точки
до плоскости 
: 
.
Найти косинус угла
между плоскостями 
и 
.
Найти направляющий вектор
прямой 
.
Составить канонические
уравнения прямой 
, проходящей через точку 
параллельно прямой 
: 
Найти угол между прямой
: 
и плоскостью : 
..
Составить уравнение плоскости
, проходящей через точку 
перпендикулярно прямой : 
.
Составить канонические
уравнения прямой , проходящей через точку 
перпендикулярно плоскости : 
К кривым второго порядка
относятся эллипс, гипербола, парабола. Приведем рисунки и канонические уравнения
этих кривых.
Привести уравнение кривой второго порядка 
к каноническому виду и
построить кривую. Решение. Для приведения уравнения кривой второго порядка
к каноническому виду применяют метод выделения полного квадрата.
Привести
уравнение кривой второго порядка 
к каноническому виду и построить
кривую.
Кривая задана в полярной системе координат
уравнением 
.
Построить на плоскости геометрическое
место точек, определяемое неравенствами 
Введение в математический анализ.
Вычислить
пределы функций. Найти 
. Найти 
.
Найти 
.
Найти 
.
Найти 
Функция задается различными аналитическими выражениями
для различных областей независимой переменной.
Производная и дифференциал
Найти
производные заданных функций 
;
;
Найти 
.
Найти 
:
Составить уравнения касательной и нормали
к кривой 
в точке с абсциссой 
.
Исследование функций.
Найти
наибольшее и наименьшее значение функции 
на отрезке 
Решение. Функция достигает наибольшего и наименьшего
значения либо в критических точках, принадлежащих заданному отрезку, либо на концах
этого отрезка. Найдем критические точки (т.е. точки в которых производная равна
нулю или не существует)
Исследовать функцию 
и построить ее график.
Найдем
точки пересечения графика функции с осями координат
Найдем точки экстремума функции и промежутки
монотонности
Найдем точки перегиба и промежутки
выпуклости и вогнутости функции
Построим график функции, используя результаты
исследования
Интегральное исчисление функции одной переменной.
Таблица
основных интегралов. Вычислить интеграл 
.
Вычислить несобственные интегралы или установить
их расходимость.
Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями: 
и 
; В зависимости от способа задания
уравнения кривой существуют следующие формулы нахождения длины дуги кривой. Пусть
функция 
непрерывна на отрезке 
. Тогда объём тела, полученного
вращением вокруг оси 
криволинейной
трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу , определяется формулой: 
Кратные и криволинейные интегралы.
Задача
Записать двойной интеграл в виде повторного и изменить
порядок интегрирования, если область интегрирования 
. Решение. Область интегрирования
D является правильной (простой) в направлении оси ОУ, т.к. любая прямая, параллельная
оси ОУ, пересекает границу области D не более чем двух точках. Первую точку пересечения
с линией у=х2 назовем точкой входа, а линию - линией входа, ее уравнение у=х2.
Вторую точку пересечения с линией у=2-х назовем точкой выхода, а линию – линией
выхода.
Вычислить двойной интеграл по области
, ограниченной графиками данных функций
Вычислить интеграл, перейдя
от прямоугольных координат к полярным: 
.
Вычислить
объем тела, ограниченного заданными поверхностями: 
Вычислить
криволинейный интеграл 1-го рода: 
где 
Решение. Вычисление криволинейного
интеграла 1-го рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла, причем
способ такого сведения зависит от представления кривой интегрирования L
Вычислить площадь части сферы 
, вырезанной цилиндром 
и плоскостью 
Найти координаты
центра тяжести плоской однородной пластины D, ограниченной линиями 
Найти величину и направление наибольшего
изменения поля 
в точке 
Обыкновенные
дифференциальные уравнения.
Задание. Найти частное решение дифференциального
уравнения, удовлетворяющее начальным условиям 
.
Найти общее решение
дифференциальных уравнений 
.
Вычислить
. Решение.
Начинаем вновь с проверки не разделятся ли переменные интегрирования. Убеждаемся,
что это не так, и, кроме того, однородным оно тоже не является. Это линейное дифференциальное
уравнение 1-го порядка, так как имеет структуру вида: 
. Будем решать его с помощью стандартной в этом случае,
замены: 
.
Найти общее
решение системы дифференциальных уравнений
. Решение. Сведем предложенную систему к
одному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка.
Для этого продифференцируем первое уравнение системы по t:
Записать
уравнение кривой, проходящей через точку
, для которой треугольник, образованный
осью Оу, касательной к кривой в произвольной её точке и радиус-вектором точки
касания, равнобедренный (причем основанием его служит отрезок касательной от точки
касания до оси Оу).
Найти общее решение дифференциального уравнения
. Решение. Так как производная
в данном случае является функцией, зависящей только от переменной x, то его решение
может быть получено в результате последовательного интегрирования: 
.
Решить уравнение
. Решение. Правая часть уравнения представляет собой
дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Выпишем общее решение
однородного дифференциального уравнения второго порядка 
.
Ряды.
Исследовать на сходимость
числовые ряды: Так как в записи общего члена ряда
есть факториал (
), то используем признак
Даламбера Составим ряд, эквивалентный исходному,
оставив в числителе и знаменателе лишь старшие степени n:
Найти область
сходимости ряда 
. Вычислить с точностью
интеграл 
.
Найти три первые (отличные от 0) члена разложения
в степенной ряд решения задачи Коши 
.
Разложить данную функцию
в ряд Фурье Вычислим значения интегралов-слагаемых
по отдельности Продолжим функцию на отрезок 
нечетным образом
Теория
вероятностей, математическая статистика и случайные процессы.
Задача.
Бросается 4 монеты. Какова вероятность того, что три раза выпадет «решка»?
Дан
ряд распределения дискретной случайной величины Y.
Определить значение x и вычислить математическое ожидание дискретной случайной
величины Y.
Задана матрица вероятностей перехода для
цепи Маркова за один шаг. Найти матрицу перехода данной цепи за три шага
.
Задача.
В вычислительный центр коллективного пользования с тремя компьютерами поступают
заказы от предприятий на вычислительные работы. Если заняты все три компьютера,
то вновь поступающий заказ не принимается и предприятие вынуждено обратиться в
другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3
часа. Интенсивность потока заявок 0.25 (з/час). Найти предельные вероятности состояний
и показатели эффективности работы вычислительного центра.