Типовой расчет по математике примеры решений

Методика решения задач физика
Кинематика
Механика жидкостей и газов
Электростатика
Оптика
Динамика
Сборник задач по физике
Постояный ток
Классическая физика
законы Ньютона
Разьемные и неразьемные
соединения
Машиностроительное черчение
Инженерная графика
Штриховка разрезов
Спецификация
Неметаллические материалы
Техника вычерчивания и обводка
Построение лекальных кривых
Виды и комплектность документов
Основная надпись
Этапы развития натюрморта
в русском исскустве
Сопряжение
Последовательность выполнения
сборочного чертежа
Форматы
Последовательность нанесения
размеров
Эскиз детали. Тpебования к эскизу
Проецируещие прямые
Позиционные задачи
Сопромат
Задачи по сопротивлению материалов
Лабораторные работы по сопромату
Математика
Вычисление криволинейного интеграла 2 рода
Решение дифференциальных уравнений
Пример решения расчетного задания
Вычисление двойного интеграла

Производная по направлению.

Числовые ряды
Функции комплексной переменной
Операционное исчисление
Ряды и интеграл Фурье
Типовой расчет
Вычислить производную
Вычислить интегралы
Вычисление площади
поверхности
Механические приложения
двойного интеграла
Скалярное и векторное поле
Соленоидальное поле
Исследовать систему уравнений
Дифференциальные уравнения
Предел последовательности
Методы интегрирования
Теория поля
Контрольная работа по
теме интегралы
Геометрические и физические
приложения кратных интегралов
Элементы теории множеств
Дифференцируемость ФНП
Интеграл Типовые задачи
Поверхностный интеграл
первого рода
 
Энергетика
История искусства
История дизайна
Искусство Шумера
Древнееврейская культура
Культура Античного мира
Техника живописи

Интегральное исчисление

Указать область дифференцируемости функции  и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Определить вид кривой .

Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами

Проверить, может ли функция  быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да – восстановить ее, при условии .

Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции  область :  плоскости .

Найти все лорановские разложения данной функции  по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

Для функции  найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах

Вычислить интегралы с помощью вычетов

Вычислить интегралы от функции комплексного переменного

Вычисление площади поверхности. Пусть в пространстве задана кусочно-гладкая поверхность , однозначно проектирующаяся в область D на плоскости Оху. Пусть эта поверхность задаётся уравнением .

Механические приложения двойного интеграла. Будем считать, что D - неоднородная плоская пластина с поверхностной плотностью материала в точке Р равной .

Скалярное и векторное поле

Рассмотрим теперь поверхность уровня скалярного поля , т.е. поверхность, задаваемую уравнением . Предположим, что  - непрерывно дифференцируемая функция от .

Соленоидальное поле

Циркуляция, ротор. Векторная формулировка теоремы Стокса Пусть  - контур с заданным направлением обхода,  - векторное поле,  - единичный вектор касательной к кривой. Определим циркуляцию как интеграл  (смысл – работа силы  вдоль контура ).

Найти интеграл . Решение. Поделив каждое слагаемое числителя подынтегральной дроби на знаменатель, и используя, что интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций, получим:

Найти интеграл .

Найти интеграл . . . .

Вычислить интеграл .

Задача Дирихле для круга Пусть дан круг радиусом R с центром в начале координат. Будем искать функцию , гармоническую в круге и удовлетворяющую на его окружности условию , где – заданная функция, непрерывная на окружности. Искомая функция должна удовлетворять в круге уравнению Лапласа

Вычислить несобственный интеграл  или доказать его расходимость.

Вычислить интеграл от разрывной функции  или установить его расходимость.

Системы линейных уравнений.

Задача. Вычислить определитель .

Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Решим систему методом Крамера. Главный определитель системы

Выполнить действия:

Векторная алгебра.

Задание: Коллинеарны ли векторы  и , разложенные по векторам  и , где

Перпендикулярны ли векторы ?

При каком значении  векторы  где , перпендикулярны?

Для нахождения длины вектора воспользуемся формулой:, для этого найдем проекции векторов на оси координат, так же найдем сумму векторов по правилу сложения векторов, заданных проекциями на оси координат

Направление вектора определяется углами , образованными им с осями координат  

Векторное произведение векторов

Даны координаты вершин пирамиды:

Аналитическая геометрия

Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;-3), В(5;1),С(3;-4).

Составим уравнение прямой AD.

Составим уравнение высоты , проведенной из вершины  на сторону  как уравнение прямой, проходящей через точку  перпендикулярно прямой .

Найдем уравнение диагонали  как уравнение прямой, проходящей через точки и , где  - середина отрезка .

Найдем тангенс угла между диагоналями  и .

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

Найти расстояние от точки  до плоскости : .

Найти косинус угла между плоскостями  и .

Найти направляющий вектор прямой .

Составить канонические уравнения прямой , проходящей через точку  параллельно прямой :

Найти угол между прямой :  и плоскостью : ..

Составить уравнение плоскости , проходящей через точку  перпендикулярно прямой : .

Составить канонические уравнения прямой , проходящей через точку  перпендикулярно плоскости :

К кривым второго порядка относятся эллипс, гипербола, парабола. Приведем рисунки и канонические уравнения этих кривых.

Привести уравнение кривой второго порядка  к каноническому виду и построить кривую. Решение. Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду применяют метод выделения полного квадрата.

Привести уравнение кривой второго порядка  к каноническому виду и построить кривую.

Кривая задана в полярной системе координат уравнением .

Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами

Введение в математический анализ.

Вычислить пределы функций. Найти .

Найти .

Найти .

Найти .

Найти

Функция задается различными аналитическими выражениями для различных областей независимой переменной.

Производная и дифференциал

Найти производные заданных функций ; ;

Найти .

Найти :

Составить уравнения касательной и нормали к кривой  в точке с абсциссой .

Исследование функций.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке Решение. Функция достигает наибольшего и наименьшего значения либо в критических точках, принадлежащих заданному отрезку, либо на концах этого отрезка. Найдем критические точки (т.е. точки в которых производная равна нулю или не существует)

Исследовать функцию  и построить ее график.

Найдем точки пересечения графика функции с осями координат

Найдем точки экстремума функции и промежутки монотонности

Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости функции

Построим график функции, используя результаты исследования

Интегральное исчисление функции одной переменной.

Таблица основных интегралов.

Вычислить интеграл .

Вычислитьнесобственные интегралы или установить их расходимость.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  и ;

В зависимости от способа задания уравнения кривой существуют следующие формулы нахождения длины дуги кривой. Пусть функция  непрерывна на отрезке .

Тогда объём тела, полученного вращением вокруг оси   криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу , определяется формулой: 

Кратные и криволинейные интегралы.

Задача Записать двойной интеграл в виде повторного и изменить порядок интегрирования, если область интегрирования . Решение. Область интегрирования D является правильной (простой) в направлении оси ОУ, т.к. любая прямая, параллельная оси ОУ, пересекает границу области D не более чем двух точках. Первую точку пересечения с линией у=х2 назовем точкой входа, а линию - линией входа, ее уравнение у=х2. Вторую точку пересечения с линией у=2-х назовем точкой выхода, а линию – линией выхода.

Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной графиками данных функций

Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных координат к полярным: .

Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями:

Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:  где Решение. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла, причем способ такого сведения зависит от представления кривой интегрирования L

Вычислить площадь части сферы , вырезанной цилиндром  и плоскостью 

Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластины D, ограниченной линиями   

Найти величину и направление наибольшего изменения поля   в точке

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Задание. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям .

Найти общее решение дифференциальных уравнений .

Вычислить . Решение. Начинаем вновь с проверки не разделятся ли переменные интегрирования. Убеждаемся, что это не так, и, кроме того, однородным оно тоже не является. Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка, так как имеет структуру вида: . Будем решать его с помощью стандартной в этом случае, замены: .

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений. Решение. Сведем предложенную систему к одному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Для этого продифференцируем первое уравнение системы по t:

Записать уравнение кривой, проходящей через точку, для которой треугольник, образованный осью Оу, касательной к кривой в произвольной её точке и радиус-вектором точки касания, равнобедренный (причем основанием его служит отрезок касательной от точки касания до оси Оу).

Найти общее решение дифференциального уравнения *. Решение. Так как производная в данном случае является функцией, зависящей только от переменной x, то его решение может быть получено в результате последовательного интегрирования: .

Решить уравнение . Решение. Правая часть уравнения представляет собой дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Выпишем общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка .

Ряды.

Исследовать на сходимость числовые ряды:

Так как в записи общего члена ряда есть факториал (), то используем признак Даламбера

Составим ряд, эквивалентный исходному, оставив в числителе и знаменателе лишь старшие степени n:

Найти область сходимости ряда .

Вычислить с точностью  интеграл .

Найти три первые (отличные от 0) члена разложения в степенной рядрешения задачи Коши .

Разложить данную функцию в ряд Фурье

Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности

Продолжим функцию на отрезок  нечетным образом

Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы.

Задача. Бросается 4 монеты. Какова вероятность того, что три раза выпадет «решка»?

Дан ряд распределения дискретной случайной величины Y. Определить значение x и вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Y.

Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг. Найти матрицу перехода данной цепи за три шага.

Задача. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя компьютерами поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если заняты все три компьютера, то вновь поступающий заказ не принимается и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 часа. Интенсивность потока заявок 0.25 (з/час). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.

Пересечение тора с плоскостью http://alkor-audit.ru Решение дифференциального уравнения