Вычислить производную Вычислить интегралы

Типовой расчет по математике примеры решений

Задание. Указать область дифференцируемости функции  и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Решение.

Выделим действительную и мнимую часть функции : Система уравнений с двумя переменными. математика решение задач

Таким образом, получим:

Найдем частные производные  и выясним, в окрестности каких точек они существуют и непрерывны, а также в каких точках плоскости выполняются условия Коши-Римана:

.

,

,

т.е.  для любых действитедбных х и у, и эти частные производные непрерывны во всей плоскости .

,

,

т.е.  для любых действитедьных х и у, и эти частные производные непрерывны во всей плоскости .

Так как условия Коши-Римана выполняются для любой пары действительных чисел   и частные производные  существуют и непрерывны в окрестности любой точки , то производная  существует в любой точке  комплексной плоскости С.

Найдем эту производную:

Итак, .

Действительная часть производной:

,

мнимая часть производной:

.

Множества бывают конечными и бесконечными. Множество студентов МГУ – конечное, множество натуральных чисел – бесконечное.

Множество называется счётным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел. Множество называется несчётным, если оно не эквивалентно множеству натуральных чисел.

Континуум – класс множеств, равномощных множеству вещественных чисел. Множества, эквивалентные по числу элементов отрезку [0;1] называется множеством мощности континуума.

Мы можем упорядочить целые числа следующим образом:

0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 5 -5 6 -6 ….

Видим, что множество целых чисел эквивалентно множеству натуральных чисел, что требовалось доказать.

Сходимость числового ряда. Ряд называют сходящимся, если существует и конечен предел последовательности частичных сумм ряда. Сам предел при этом называют суммой ряда и обозначают . Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд расходится. n-ым остатком сходящегося ряда называется ряд , получ из данного отбрасыванием первых его членов. Обозначается Rn. Очевидно, что для сходящегося ряда .
Вычисление объема тела, вычисление длин дуг Векторная алгебра