Типовой расчет по математике примеры решений

 Вычисление площади поверхности. Пусть в пространстве задана кусочно-гладкая поверхность , однозначно проектирующаяся в область D на плоскости Оху. Пусть эта поверхность задаётся уравнением . Тогда площадь этой поверхности выражается формулой

. Тройные и двойные интегралы при решении задач Геометрические приложения двойных интегралов

Мы докажем эту формулу позже, когда будем изучать поверхностные интегралы. Сейчас рассмотрим пример: найти площадь лепестков, вырезаемых цилиндром x2 + y2 = 2ax из сферы x2 + y2 + z2 = 4a2 .

Решение. На рисунке изображён верхний из этих лепестков. Уравнение поверхности   вычисляем производные   и . Область D - сдвинутый на а единиц по оси Ох круг, поэтому вычисляем в полярных координатах, учитывая симметрию поверхности относительно плоскостей Оху и Охz:  .

Нарушение этой формулы в единственной точке  не повлияет на результат, поэтому , где  - проекция  на плоскость , т.е.  - круг .

В интеграле, стоящем в правой части, перейдем к полярным координатам:  ( - якобиан преобразования) .

Основание  задано уравнением , поэтому   и  (этот интеграл отличается от вычисленного выше лишь множителем, поэтому подробное вычисление опущено).

Итак, весь интеграл .

окрестность – это такое множество, каждая точка которого удалена от данной точки х0 менее, чем на ε.

Пусть , тогда ε-окрестность это множество .

Точка является предельной точкой М, если выполняется или 1), или 2).

1) в содержится бесконечное число точек из М

2)  в содержится хотя бы одна точка из М.

Производное множество М’ – это множество всех предельных точек М.

Замкнутое множество – это множество, которому принадлежит его производное множество.

Для двумерного многообразия:

Пусть ε-окрестность – это такое множество

Точка является предельной точкой М, если выполняется или 1) или 2).

1) в содержится бесконечное число точек из М

2)  в содержится хотя бы одна точка из М.

Теорема о предельной точке: два определения предельной точки эквивалентны.