Вычислить производную Вычислить интегралы

Типовой расчет по математике примеры решений

 Механические приложения двойного интеграла. Будем считать, что D - неоднородная плоская пластина с поверхностной плотностью материала в точке Р равной . В механике  определяется так. Точка Р окружается малой областью S, находится масса m(S) и площадь этой области (площадь тоже будем обозначать буквой S), и . Для нахождения массы по заданной плотности мы ь обратную задачу. Разобьём D на малые подобласти D1, D2, D3, …, Dn, в каждой из подобластей Di выберем произвольную точку Pi, и, считая что в пределах Di плотность постоянна и равна , получим, что масса Di приближённо есть , а масса всей пластины . Это - интегральная сумма, при уменьшении   точность приближения увеличивается, и в пределе .

 Аналогично находятся другие параметры пластины:

координаты центра тяжести , ;

моменты инерции  (относительно оси Ox),  (относительно оси Oy),  (относительно начала координат).

 Пример: найти параметры неоднородной плоской пластины, ограниченной кривыми  если плотность .

 Решение.

   (что и следовало ожидать, так как область и плотность симметричны относительно оси Оу).

.

. .

Поверхностные интегралы 2-го типа

Пусть  двусторонняя поверхность. Выберем определенную сторону этой поверхности. Пусть  обозначает нормаль, соответствующую выбранной стороне.

Предположим, что задано векторное поле , определенное и непрерывное на .

Определение. Величина  называется поверхностным интегралом 2-го типа от векторного поля  по выбранной стороне поверхности .

Этот же интеграл часто записывают так: . При этом для выбранной стороны использованы обозначения , .

Докажем эквивалентность двух определений замкнутого множества.

Если , то F – замкнутое.

Если , то F – замкнутое.

Теорема: Для того, чтобы множество F () было замкнутым (т.е. ), необходимо и достаточно, чтобы .

Теорема 1 (необходимость): Если М замкнутое (то есть ), то

Доказательство:

А) Если F = E1, то F’ = F →

Б) Если F’ = и F ≠ , то

В) Если F’ ≠ и F ≠ , то каждая предельная точка является или граничной, или внутренней. Если предельная точка является граничной, то она принадлежит F в силу . Если предельная точка внутренняя, то она обязательно принадлежит F. → , что требовалось доказать.

Теорема 2 (достаточность): Если , то F – замкнутое (то есть )

Доказательство:

А) Если F* = , то

Б) Если F* ≠ , то каждая граничная точка является или предельной, или изолированной. Если граничная точка предельная, то она принадлежит F в силу . Если граничная точка изолированная, то она обязательно принадлежит F. → , что требовалось доказать.

Ряд , где значения Un - числа одного знака,называется знакочередующимся. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд. Если ряд из модулей расходится, а сам ряд сходится, то его называют условно сходящимся. Исследование знакопеременного ряда начинают с исследования на сходимость ряда из модулей методами для рядов с неотрицательными членами. Если такой ряд сходится, то получен ответ: ряд сходится абсолютно.
Векторная алгебра