Числовой ряд. Рассмотрим произвольную числовую последовательностьКратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля.
Задача. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных координат к полярным:
.
Решение. Найдем границы области интегрирования в декартовых координатах.
Преобразуем
Преобразуем
Изобразим область интегрирования:
Для расстановки пределов интегрирования в полярных координатах учтем, что область D – круговой сектор, ограниченный дугой окружности
, уравнение которой с учетом связи декартовых и полярных координат
примет вид
т.е.
.
D ограничена также лучами
Поэтому требуемый интеграл I
в полярных координатах получится из исходного с помощью связи декартовых и полярных координат и домножения на
подынтегральной функции внутреннего интеграла по
, учитывающего искажение элемента площади в полярных координатах. В других примерах для расстановки пределов интегрирования, использовать, по аналогии с декартовыми координатами, рассечение D лучами, выходящими из центра полярной системы координат. Если они пересекутся с границей D не более чем в двух точках, то эта область - правильная по
, и пределы в повторном интеграле с внутренним интегралом по
и внешним по
расставляются аналогично расстановке по у и х в случае декартовых координат.
Процесс вычисления двухкратного интеграла в полярных координатах после замены пределов интегрирования и подинтегральных выражений сведется к следующему:
.