Контрольная по математике примеры решений

Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля.

Задача. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных координат к полярным:

  .

Решение. Найдем границы области интегрирования в декартовых координатах.

Преобразуем 

Преобразуем 

Изобразим область интегрирования:

 Для расстановки пределов интегрирования в полярных координатах учтем, что область D – круговой сектор, ограниченный дугой окружности , уравнение которой с учетом связи декартовых и полярных координат  примет вид т.е. .

D ограничена также лучами  Поэтому требуемый интеграл Iв полярных координатах получится из исходного с помощью связи декартовых и полярных координат и домножения на  подынтегральной функции внутреннего интеграла по , учитывающего искажение элемента площади в полярных координатах. В других примерах для расстановки пределов интегрирования, использовать, по аналогии с декартовыми координатами, рассечение D лучами, выходящими из центра полярной системы координат. Если они пересекутся с границей D не более чем в двух точках, то эта область - правильная по , и пределы в повторном интеграле с внутренним интегралом по  и внешним по   расставляются аналогично расстановке по у и х в случае декартовых координат. 

  Процесс вычисления двухкратного интеграла в полярных координатах после замены пределов интегрирования и подинтегральных выражений сведется к следующему:

.