Вычисление площади поверхности Механические приложения двойного интеграла

Контрольная по математике примеры решений

Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля.

Задача. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями:

  Решение. При сведении тройного интеграла к трехкратному и в расстановке пределов в каждом из трех определенных интегралов действуем по аналогии со случаем двойного интеграла. Область интегрирования V в примере считаем правильной в направлении оси OZ, т.к. любая прямая, параллельная оси OZ, пересекает границу области не более чем в двух точках. Учитывая, что объем области V выражается в декартовых  координатах формулой

  Векторный анализ. Поверхностные интегралы.  Теория поля. Математика лекции и задачи ОДУ высших порядков. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

а область V ограничена снизу плоскостью z=0, а сверху – поверхностью параболоида вращения z=4-(x2+y2) можно свести тройной интеграл к вычислению двойного интеграла от однократного:

 

 

 Сначала вычисляется внутренний интеграл по переменному z с нижним пределом z=0 и верхним пределом z=4-(x2+y2).  Областью интегрирования D во внешнем двойном интеграле является проекция тела  V на плоскость XOY, имеющая вид:

  Линия входа в эту область y=0, линия выхода .  Проекцией области D на ось OX служит отрезок . Отсюда следует, что во внутреннем интеграле по у нижний предел 0, верхний предел , а во внутреннем интеграле по х нижний предел 0, а верхний предел . В итоге объем V вычисляется с помощью трехкратного интеграла следующим образом:

=

.

Числовой ряд. Рассмотрим произвольную числовую последовательность и формально составим сумму ее членов  Это выражение называют числовым рядом, или просто рядом. Члены последовательности  называют членами ряда. Конечно, невозможно вычислить сумму бесконечного числа слагаемых, но легко вычислить сумму первых n членов ряда . Эта сумма называется n-ой частичной суммой.
Производная и дифференциал