Контрольная по математике примеры решений

Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля.

Задача . 1) Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:

 где

Решение. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла, причем способ такого сведения зависит от представления кривой интегрирования L. Если L задана уравнением  где функция  имеет непрерывную производную   для , то

 

Если L задана параметрически:  где функции имеют непрерывные производные , для  то

 

Если L задана в полярных координатах уравнением   и функция имеет непрерывную производную  для , то

 

В рассмотренном примере используется явное задание кривой L уравнением . Поэтому, используя первый способ сведения интеграла по длине дуги к определенному, получим:

Вычислить работу силы  при перемещении материальной точки по кривой  от точки А(0;0) до точки В(1;1).

Решение.  Работа переменной силы  по перемещению материальной точки по плоской кривой L c уравнением  вычисляется с помощью криволинейного интеграла 2-го рода по координатам

 

который сводится к определенному интегралу с учетом способа задания кривой L. В приведенном примере кривая L задана явно уравнением . Поэтому, по аналогии с переходом к определенному интегралу в предыдущем примере, достаточно заменить:

.  Получим: