Числовой ряд. Рассмотрим произвольную числовую последовательностьКратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля.
Задача . 1) Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:
где
Решение. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла, причем способ такого сведения зависит от представления кривой интегрирования L. Если L задана уравнением
где функция
имеет непрерывную производную
для
, то
Если L задана параметрически:
где функции
имеют непрерывные производные
, для
то
![]()
Если L задана в полярных координатах уравнением
и функция
имеет непрерывную производную
для
, то
В рассмотренном примере используется явное задание кривой L уравнением
. Поэтому, используя первый способ сведения интеграла по длине дуги к определенному, получим:
Вычислить работу силы
при перемещении материальной точки по кривой
от точки А(0;0) до точки В(1;1).
Решение. Работа переменной силы
по перемещению материальной точки по плоской кривой L c уравнением
вычисляется с помощью криволинейного интеграла 2-го рода по координатам
который сводится к определенному интегралу с учетом способа задания кривой L. В приведенном примере кривая L задана явно уравнением
. Поэтому, по аналогии с переходом к определенному интегралу в предыдущем примере, достаточно заменить:
. Получим: