Вычисление площади поверхности Механические приложения двойного интеграла

Контрольная по математике примеры решений

Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля.

Задача . а) Вычислить площадь части сферы , вырезанной цилиндром  и плоскостью 

Решение. Область D является кругом (рис.2), поэтому решаем задачу в полярных координатах. Тогда Элемент площади плоской области dS выражается в полярных координатах в виде: . Полярное уравнение окружности, ограничивающей область интегрирования, будет иметь вид:

.  Так как область интегрирования содержит начало полярной системы точку О на своей границе, то вычисляем площадь поверхности  с помощью поверхностного интеграла 1-го рода: Тройной интеграл Математика лекции и задачи

Рис. 1 Рис. 2

б) Найти поверхностный интеграл 2-го рода  где замкнутая поверхность  состоит из внешней стороны части поверхности параболоида  а также из части плоскости

Решение. Применяем формулу Остроградского-Гаусса к поверхностному интегралу 2-го рода I:

В векторной форме формула Остроградского-Гаусса имеет вид: 

 

где в левой части – поток П векторного поля  через замкнутую поверхность а

 

Но тогда  где векторное поле  имеет вид: 

  Но  

Рис. 3.

 Следовательно,  

Числовой ряд. Рассмотрим произвольную числовую последовательность и формально составим сумму ее членов  Это выражение называют числовым рядом, или просто рядом. Члены последовательности  называют членами ряда. Конечно, невозможно вычислить сумму бесконечного числа слагаемых, но легко вычислить сумму первых n членов ряда . Эта сумма называется n-ой частичной суммой.
Производная и дифференциал