Вычисление площади поверхности Механические приложения двойного интеграла

Курсовая по математике примеры решений

Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля.

Задача а) Найти величину и направление наибольшего изменения поля   в точке

Решение. Доказано  (см. [1], [2], [5], [6]), что скалярное поле U(M) имеет в данной точке М0 максимальную производную по направлению , которая равна модулю градиента поля U в этой точке:

  Криволинейный интеграл 2 рода Математика вычисление интеграла

если за вектор , указывающий направление дифференцирования, взять направление вектора gradU(M0). Поэтому в задаче требуется найти сам вектор

 

Приведем соответствующие вычисления:

  ,

 ,

 ,

 

б) Выяснить, является ли векторное поле  потенциальным.

Решение. Векторное поле  потенциально, если в каждой точке М из области определения поля  Находим 

В этой формуле для удобства запоминания метода вычисления ротора использован формальный оператор Гамильтона «набла»:

 ,

действующий по правилу нахождения векторного  произведения в прямоугольных декартовых координатах.

 Для других типов полей, исследуемых в задании 8, приведем их определения:

Соленоидальное поле  в каждой точке М области V удовлетворяет условию

  .

Гармоническое поле  является в каждой точке области V одновременно потенциальным и соленоидальным, то есть  и 

В нашем случае  Тогда

  следовательно, поле  не является потенциальным.

Сходимость числового ряда. Ряд называют сходящимся, если существует и конечен предел последовательностичастичных сумм ряда. Сам предел при этом называют суммой ряда и обозначают . Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд расходится.
Производная и дифференциал