Сходимость числового ряда. РядОбыкновенные дифференциальные уравнения.
Задание. Найти общее решение дифференциальных уравнений.
а)
.
Решение. Попытаемся разделить переменные интегрирования. Для этого вынесем за скобки общий множитель:
, разнесем слагаемые:
; выражая
из полученного уравнения убедимся в том, что
и, значит, наше уравнение является дифференциальным уравнением в разделяющихся переменных. Разделим переменные.
.
Проинтегрируем получившееся выражение по соответствующим переменным:
.
Получим
,
.
Таким образом, мы убедились в том, что
- общий интеграл заданного уравнения.
Ответ:
.
б)
.
Решение. Убедимся в том, что переменные разделить не удается. Поэтому поделим обе части уравнения на x.
- Убедимся в том, что производная
в представленном уравнении зависит только от отношения
, то есть
и, значит, это однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Будем решать его с помощью соответствующей замены.
Введем новую переменную
.
;
;
; проинтегрируем выражение
;
;
;
;
- общее решение уравнения.
Ответ:
.