Вычисление площади поверхности Механические приложения двойного интеграла

Курсовая по математике примеры решений

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Задание

а) Найти общее решение дифференциального уравнения *.

 Решение. Так как производная в данном случае является функцией, зависящей только от переменной x, то его решение может быть получено в результате последовательного интегрирования: .

 Ответ. .

б) Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Поскольку данное уравнение не содержит в явном виде переменной , то замена   позволяет преобразовать его в уравнение первого порядка с разделяющимися переменными .

;

. Учтя, что  – произвольная постоянная, то полученное решение можно упростить: .

Ответ. .

в) Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Так как решаемое уравнение не содержит явно переменной , будем получать его решение с помощью введения новой переменной , откуда , так как в этом случае мы вычисляем производную сложной функции. Заданное уравнение в результате такой замены будет иметь вид: . Решение  является особым, и, делая обратную замену в этой ситуации, запишем: . Оставшееся уравнение  является уравнением в разделяющихся переменных: . Интегрируя последнее равенство, получим . Выразим теперь функцию : . Делая вновь обратную замену , получим: . В данном уравнении можно разделить переменные: . Интегрируя последнее выражение, получим . Получившаяся неявная функция также является решением заданного дифференциального уравнения.

Ответ. ; .

Сходимость числового ряда. Ряд называют сходящимся, если существует и конечен предел последовательностичастичных сумм ряда. Сам предел при этом называют суммой ряда и обозначают . Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд расходится.
Производная и дифференциал